Řád prvku

Řád prvku $a$ v grupě $G$ je takové nejmenší přirozené číslo $n$, že $a^n=1$ (přičemž $1$ je neutrální prvek grupy $G$), značíme jej $\mathrm{ord}a$ nebo $|a|$.

Definice

Buď dána grupa $G$, a prvek $a\in <!--\; \in \; -->G$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem $a$ konečná, pak řád prvku $a$ v grupě $G$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak $0$ (u některých autorů $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$).

Tvrzení

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď $f:G\to <!--\; \to \; -->H$ homomorfismus grup a $a\in <!--\; \in \; -->G$ prvek konečného řádu, pak $\mathrm{ord}f\left(a\right)|\mathrm{ord}a$. Je-li navíc $f$ injektivní, pak $\mathrm{ord}f\left(a\right)=\mathrm{ord}a$.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem $1$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

• BERAN, Ladislav. Grupy a svazy. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1974. (Matematický seminář SNTL, 5). Kapitola 2.4 Podgrupa generovaná komplexem, s. 67–68. 
• ROSICKÝ, Jiří. Algebra. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. 

Odkazy

Související články

• Grupa
• Cyklická grupa
• Řád grupy

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.