Bilineární interpolace

V matematice je bilineární interpolace rozšíření lineární interpolace pro interpolaci funkce dvou proměnných na pravidelnou prostorovou mřížku. Klíčová myšlenka je provést lineární interpolaci nejprve v jednom směru a pak i ve druhém směru.

Předpokládejme, že chceme najít hodnotu neznámé funkce f v bodě P = (x, y). Předpokladem je, že známe hodnotu f ve čtyřech bodech Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), a Q₂₂ = (x₂, y₂).

Nejprve provedeme lineární interpolaci v x-ovém směru. To znamená:

$f\left(R_1\right)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{x_2-<!--\; -\; -->x}{x_2-<!--\; -\; -->x_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{x-<!--\; -\; -->x_1}{x_2-<!--\; -\; -->x_1}f\left(Q_{21}\right)\text{kde}{R}_1=(x,y_1),$

$f\left(R_2\right)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{x_2-<!--\; -\; -->x}{x_2-<!--\; -\; -->x_1}f\left(Q_{12}\right)+\frac{x-<!--\; -\; -->x_1}{x_2-<!--\; -\; -->x_1}f\left(Q_{22}\right)\text{kde}{R}_2=(x,y_2).$

A teď budeme pokračovat v y-ovém směru.

$f\left(P\right)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{y_2-<!--\; -\; -->y}{y_2-<!--\; -\; -->y_1}f\left(R_1\right)+\frac{y-<!--\; -\; -->y_1}{y_2-<!--\; -\; -->y_1}f\left(R_2\right).$

Nyní máme požadovaný odhad f(x, y).

Pokud si vybereme souřadící systém se čtyřmi body, kde funkce f je zadána body (0, 0), (0, 1), (1, 0), a (1, 1), pak se vzorec zjednoduší:

$f(x,y)\approx <!--\; \approx \; -->f(0,0)(1-<!--\; -\; -->x)(1-<!--\; -\; -->y)+f(1,0)x(1-<!--\; -\; -->y)+f(0,1)(1-<!--\; -\; -->x)y+f(1,1)xy.$

Nebo ekvivalentně, maticovými operacemi:

Oproti tomu, co říká název, interpolace není lineární. Místo toho je její vzorec

$(a_{1}x+a_2)(a_{3}y+a_4),$

takže je součinem dvou lineárních funkcí. Stejně tak lze interpolaci zapsat jako

$b_1+b_{2}x+b_{3}y+b_{4}xy$

kde

$b_1=f(0,0)$

$b_2=f(1,0)-<!--\; -\; -->f(0,0)$

$b_3=f(0,1)-<!--\; -\; -->f(0,0)$

$b_4=f(0,0)-<!--\; -\; -->f(1,0)-<!--\; -\; -->f(0,1)+f(1,1)$.

V obou případech počet konstant (čtyři) odpovídá počtu daných bodů, které funkce f udává. Interpolace je lineární podle přímky, která je rovnoběžná buď se směrem $x$ nebo $y$, ekvivalentně je-li $x$ nebo $y$ nastaveno konstantně. Rovnoběžně s další přímkou je interpolace kvadratická.

Výsledek bilineární interpolace je nezávislý na pořadí interpolací. Kdybychom nejprve provedli lineární interpolaci na ose y a pak v x-ovém směru, výsledná aproximace bude stejná.

Zřejmým rozšířením bilineární interpolace je trojrozměrná interpolace – trilineární interpolace.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bilinear interpolation na anglické Wikipedii.

Související články

• Bikubická interpolace
• Spline interpolace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bilineární interpolace na Wikimedia Commons