Charakteristická funkce

Jako charakteristická funkce se v matematice označuje taková funkce, která pro nějakou podmnožinu A dané množiny X indikuje, které prvky X patří do A, to znamená, že její hodnota pro prvky množiny A je rovna jedné, pro všechny ostatní body nule.

Definice

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A:X\to <!--\; \to \; -->\{0,1\}$ je charakteristická funkce množiny A v množině X, pokud platí

Značení

Značení charakteristické funkce není jednotné, mimo ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A\left(x\right)$ se používá také $1_A\left(x\right)$, $c_A\left(a\right)$ či dokonce jen A(x) (zejména v teorii vyčíslitelnosti).

Vlastnosti

Jsou-li A a B dvě podmnožiny množiny X, pak platí

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}=min\{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_B\}={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_B,$

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}=max\left\{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A,{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_B\right\}={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A+{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_B-<!--\; -\; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_B,$

Speciální tvary

• pokud je charakteristická funkce množiny A obecně rekurzivní, je množina A rekurzivní

Související články

• Dirichletova funkce
• Fuzzy množina