Distribuční funkce

Distribuční funkce, funkce rozdělení nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost (anglicky Cumulative Distribution Function, CDF) je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota.

Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s hustotou pravděpodobnosti.

Definice

Nechť $X$ je náhodná proměnná z určitého rozdělení a $x$ je libovolné reálné číslo. Potom funkci $F:R\to <!--\; \to \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->0,1⟩<!--\; ⟩\; -->$ definovanou předpisem

$F\left(x\right)=P(X\le <!--\; \le \; -->x)$

nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení.

Diskrétní proměnná

Pokud existuje posloupnost realizací náhodné proměnné $\left\{x_n\right\}$ tak, že pro $\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}P(X=x_n)=1$, pak nazveme $p_n=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}P(X=x_n)$ diskrétním rozdělením pravděpodobností náhodné veličiny a pro proměnnou diskrétního typu $X$ platí:

$F\left(x\right)=\underset{n:x_n\le <!--\; \le \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_n$, kde $p_n$ jsou pravděpodobnosti jednotlivých hodnot $x_n$.

Spojitá proměnná

Pokud je $X$ spojitá náhodná proměnná s hustotou $f\left(x\right)$, potom platí:

$F\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{x}f\left(t\right)dt$.

Náhodný vektor

Nechť $X$ je náhodný vektor v $R^N$ a $x$ je libovolný vektor hodnot. Distribuční funkci $F_X\left(x\right)$ definujeme jako:

$F_X\left(x\right)=P(X_1\le <!--\; \le \; -->x_1,X_2\le <!--\; \le \; -->x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n\le <!--\; \le \; -->x_n)$

pro libovolný vektor $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$.

Vlastnosti distribuční funkce

Popis	Matematická formulace
Definiční obor	$0\le <!--\; \le \; -->F\left(x\right)\le <!--\; \le \; -->1$
Monotonie
Asymptotické vlastnosti	$\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F\left(x\right)=1$ $\underset{x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F\left(x\right)=0$
Pravděpodobnost intervalu
Spojitost zprava	$\underset{x\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{+}}{lim}F\left(x\right)=F\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)$
Skok distribuční funkce	$P(X=x_0)=F\left(x_0\right)-<!--\; -\; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0^{-<!--\; -\; -->}}{lim}F\left(x\right)$
Kontinuita distribuční funkce zprava
Konečný počet bodů nespojitosti prvního řádu (skoků)	$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left[F\right(x_i+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i)-<!--\; -\; -->F(x_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i\left)\right]=0$

Příklady

V následující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.

Rozdělení	Distribuční funkce
Rovnoměrné rozdělení na intervalu $[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}]$
Normální rozdělení	$F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right\}$
Exponenciální rozdělení

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Distribučná funkcia (štatistika) na slovenské Wikipedii.

Související články

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Náhodná veličina

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu distribuční funkce na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

Autoritní data	GND: 4192219-0