Jordanova normální forma

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky^[1]), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici $A$ existuje Jordanův tvar $J$, který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice $R$, že $A=R^{-<!--\; -\; -->1}JR$. Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice $A$. Objevil ho Camille Jordan roku 1870, a po něm se proto Jordanova normální forma jmenuje.

Podoba Jordanova tvaru

Matice $J\in <!--\; \in \; -->C^{n\times <!--\; \times \; -->n}$v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

kde $J_k\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)\in <!--\; \in \; -->C^{k\times <!--\; \times \; -->k}$, tzv. Jordanův blok vlastního čísla $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ dimenze $k$, je horní trojúhelníková matice ve tvaru:

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1

Následující matice je v Jordanově tvaru:

Skládá ze tří Jordanových bloků $J_2\left(5\right),J_1\left(8\right),J_3\left(8\right)$ velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2

Jakákoliv n×n diagonální matice $D=diag({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$ je v Jordanově tvaru: má n bloků $J_1\left({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i\right)$ o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

• Vlastní číslo matice je takové $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$, které pro nějaký nenulový vektor $v$ splňuje $Av=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)v=0$.
• Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$, hodnota $\dim <!--\; \; -->Ker(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$.
• Polynom $p_A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)$se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok $J_k\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$ má vlastní číslo $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ s algebraickou násobností $k$ a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ s algebraickou násobností $a$ a geometrickou násobností $g$ bude tedy mít pro toto vlastní číslo $g$ Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude $a$.

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice $A$, jejíž Jordanův kanonický tvar $J$

• obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
• Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
• Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
• A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům $r\ne <!--\; \ne \; -->q$ odpovídají různá vlastní čísla ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_r\ne <!--\; \ne \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_q$).

Vlastnosti

Každá matice $A\in <!--\; \in \; -->C^{n\times <!--\; \times \; -->n}$ je podobná matici s Jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož Jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

Dostáváme

$det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{36}={\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}\right)}^2=0.$

Nalezli jsme tedy vlastní číslo ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}$ s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení $x$ homogenní soustavy $(A-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{1}I)x=0$. Zřejmě

a jedním z hledaných řešení je například vektor $x_1=(2,-<!--\; -\; -->1{)}^T$. Všimněme si, že matice $A-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{1}I$ má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice $A$ nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici $X$. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor $x_1$, druhým sloupcem $x_2$ bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

$A{x}_2=x_1+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2.$

Snadno se přesvědčíme, že $x_2=(1,0{)}^T$. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice $A$. Obsahuje jediný Jordanův blok velikosti 2.

Reference

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.