Krylovův prostor

Krylovův prostor, respektive Krylovův podprostor, je pojem z oboru lineární algebry. Pro čtvercovou matici $A$ stupně $n$ a vektor $b$ dimenze $n$ je Krylovův podprostor řádu $r$ definován jako lineární obal násobků $b$ prvními $r$ mocninami $A$ počínaje od nulté mocniny, tedy jednotkové matice ($A^0=I$). Tedy lineární obal vektorů $b,Ab,A^{2}b,\dots <!--\; \dots \; -->,A^{r-<!--\; -\; -->1}b$.

Jméno pochází od ruského námořního inženýra a aplikovaného matematika Alexeje Nikolajeviče Krylova, který o nich napsal v roce 1931 práci.

Svou aplikaci našly Krylovovy podprostory například v moderních iteračních metodách pro hledání vlastních hodnot velkých řídkých matic nebo pro řešení velkých soustav lineárních rovnic, kde je z hlediska výpočetní složitosti jejich výhodou, že dochází k násobení velké matice vektorem a nikoliv k násobení přímo velkých matic mezi sebou. Výpočet členů posloupnosti vektorů $b,Ab,A^{2}b,A^{3}b,\dots <!--\; \dots \; -->$ lze totiž spočítat násobením předchozího členu maticí $A$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Krylov subspace na anglické Wikipedii.