Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích

Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích je tvrzení z oboru teorie čísel, které říká, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Tedy pro každé přirozené n existují taková celá čísla a, b, c a d, že:

$n=a^2+b^2+c^2+d^2$

Větu dokázal Joseph Louis Lagrange v roce 1770.

Dějiny

Poprvé se věta objevuje v Diofantově Aritmetice, která byla později v roce 1621 přeložena do latiny Bachetem. V roce 1798 Adrien-Marie Legendre větu vylepšil tvrzením, že přirozená čísla mohou být vyjádřena jako součet tří čtverců tehdy a jen tehdy, mohou-li být vyjádřena jako $4^k(8m+7)$. Jeho důkaz byl ovšem neúplný a teprve později byl opraven Gaussem.

Existují dva obecnější významné problémy, jichž je Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích speciálním případem. Jednak se jedná o Fermatovu větu o n-úhelníkových číslech, která se týká vyjadřování přirozených čísel pomocí n-úhelníkových, jednak se jedná o Waringův problém, který se týká vyjadřováním přirozených čísel pomocí mocnin stejného exponentu.

Algoritmus

Michael O. Rabin a Jeffrey Shallit nalezli pravděpodobnostní polynomiální algoritmus, který k danému číslu najde jeho vyjádření čtyřmi čtverci s očekávanou složitostí $O(\log <!--\; \; -->n)$.^[1]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lagrange's four-square theorem na anglické Wikipedii.

Literatura

• KLAZAR, Martin. Kaleidoskop teorie čísel - kapitola 3 (diofantické rovnice). KAM-DIMATIA Series preprint. 2000, čís. 469. Dostupné online.