Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Zobrazení $f:V\to <!--\; \to \; -->T$ sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj.:

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->V:f\left(x\right)\in <!--\; \in \; -->T,$
2. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V:f(x+y)=f\left(x\right)+f\left(y\right),$
3. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->V\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->T:f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->x)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f\left(x\right).$

Podmínky 2., 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->T:f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->y)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f\left(x\right)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}f\left(y\right).$

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $T$.

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->V:f\left(x\right)\in <!--\; \in \; -->T,$
2. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->T:f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->y)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f\left(x\right)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}f\left(y\right).$

Příklad

Lineární funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovském prostoru $R^n$. Předpokládejme, že vektory prostoru $R^n$ jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

$x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n{)}^T.$

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

$f\left(x\right)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{x}_n.$

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

$f\left(x\right)=(a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n{)}^T.$

Lineární funkcionály na $R^n$ mohou být tudíž reprezentovány jako $n$-rozměrné řádkové vektory $(a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$.

Externí odkazy

• Definice lineárního funkcionálu na Wolfram MathWorld
• stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry

Autoritní data	NKC: ph115152