Metoda řetězových zlomků

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou ^[1] na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru

$|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->+G_{0}V|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$

pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici

$T=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->.$

Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie $V$ ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG^[2]) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru $|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->,G_{0}V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->,(G_{0}V{)}^2|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->,...$. Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu

$V=\frac{V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V}{⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}+V_1.$

Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako

$|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->+T|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->,T=\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{⟩<!--\; ⟩\; -->}^2}{⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->},$

pomocí funkce $|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->$, která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici

$|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->=|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->+G_0{V}_1|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->,$

kde $|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->=G_{0}V|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->.$ Zbytkový potenciál $V_1$ je průhledný pro přicházející vlny

$V_1|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}|V_1=0,$

tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro $|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->$ má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace

$V_i=V_{i-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{V_{i-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}|V_{i-<!--\; -\; -->1}}{⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}|V_{i-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->}$

$|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i⟩<!--\; ⟩\; -->=G_0{V}_{i-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->.$

Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku

$T=\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_0^2}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_0-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1^2}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2^2}{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_3-<!--\; -\; -->\ddots <!--\; \ddots \; -->}}},$

kde jsme zavedli

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}|V_{i-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->,{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}|V_{i-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i⟩<!--\; ⟩\; -->.$

Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_N={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{N+1}=\cdots <!--\; \cdots \; -->=0,{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_N={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{N+1}=\cdots <!--\; \cdots \; -->=0.$

To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení

$|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_N⟩<!--\; ⟩\; -->=|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_N⟩<!--\; ⟩\; -->+G_0{V}_N|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_N⟩<!--\; ⟩\; -->,$

je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál $V_N$ má všechny vektory $|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i⟩<!--\; ⟩\; -->,i=0,1,...,N-<!--\; -\; -->1$ ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta algoritmu^[2] vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru

$G_{i+1}=G_i-<!--\; -\; -->\frac{|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i+1}⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i+1}|}{⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i|V|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i+1}⟩<!--\; ⟩\; -->},$

tentokrát pomocí vektorů

$|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{i+1}⟩<!--\; ⟩\; -->=G_{i}V|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i⟩<!--\; ⟩\; -->$.

Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i,{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i$^[2].

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce $|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$. V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné^[3] a molekulové fyzice^[4].

Reference