Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

• definiční obor a obor hodnot
• určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
• průsečíky grafu se souřadnými osami
  • Průsečík grafu funkce $f\left(x\right)$ s osou $y$ získáme dosazením hodnoty $x=0$ do funkce $f$, tzn. získáme hodnotu $y_0=f\left(0\right)$.
  • Průsečík grafu funkce $f\left(x\right)$ s osou $x$ získáme řešením rovnice $f\left(x\right)=0$.
• intervaly spojitosti funkce
• body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
• určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
  • intervalů monotonie
  • stacionárních bodů a lokálních extrémů
• vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
  • intervaly konvexnosti a konkávnosti
  • inflexní body
• rovnice asymptot
• funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body, které nám mohou poskytnout nějakou informaci o průběhu funkce mezi nimi)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad

Vyšetřujme průběh funkce $y=x\ln <!--\; \; -->x$.

Zatímco $x$ je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro $x>0$. Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude $(0,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$.

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro $x>0$, není periodická, ani lichá nebo sudá.

Limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+}{lim}x\ln <!--\; \; -->x=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}}=0$

Funkci lze tedy definovat také v bodě $y\left(0\right)=0$, tzn. rozšířit definiční obor na $⟨<!--\; ⟨\; -->0,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$.

Průsečík s osou $y$ získáme dosazením $x=0$, tedy $y=0$.

Průsečík s osou $x$ získáme z rovnice $x\ln <!--\; \; -->x=0$, která má řešení $x_1=0,x_2=1$.

První a druhá derivace funkce jsou

$y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\ln <!--\; \; -->x+1$

$y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\frac{1}{x}$

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí $y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}>0$, což lze po dosazení zapsat jako $\ln <!--\; \; -->x>-<!--\; -\; -->1$. Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro $x>\frac{1}{e}$.

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí , tzn. . Řešením získáme, že funkce je klesající pro .

V bodě $x_3=\frac{1}{e}$ je $y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(x_3\right)=0$. Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť $y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(\frac{1}{e}\right)=e>0$. Hodnota funkce v tomto bodě je $y\left(\frac{1}{e}\right)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{e}$.

Vzhledem k tomu, že $y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}>0$ na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť $k=\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\ln <!--\; \; -->x=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$.

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Odkazy

Související články

• Stacionární bod
• Extrém funkce
• Konvexnost a konkávnost funkce
• Monotónní funkce

Externí odkazy

• Vykreslování grafů funkcí (i jejich derivací a integrálů)