Otočení

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu $S$ o (orientovaný) úhel $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu $A\ne <!--\; \ne \; -->S$ bod $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$, pro který platí $|SA|=|S{A}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}|$ a velikost úhlu $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AS{A}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ je $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$. Obrazem středu otočení $S$ je opět bod $S$.

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ je dána vztahy

$x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$.

Čárkované souřadnice $x^{\prime },y^{\prime }$ jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice $x,y$. Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ kolem osy $z$ je dáno vztahem

$x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$z^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=z$

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru $x^{\prime }=Ax$ kde $A$ je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy $n=(n_1,n_2,n_3{)}^T$, kde $n_1^2+n_2^2+n_3^2=1$, o úhel $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ je

kde $I$ jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu $SO\left(3\right)$.

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$ jsou staré souřadnice a $x_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->,x_n^{\prime }$ nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

$\sum <!--\; \sum \; -->x_i^2=\sum <!--\; \sum \; -->(x_i^{\prime }{)}^2.$

Rotace souřadnic o úhel $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související články

• Shodné zobrazení
• Eulerovy úhly

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Otočení na Wikimedia Commons