Rovnoběžnostěn

Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.

Povrch

Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme

$P=2[((a\times <!--\; \times \; -->b)\cdot <!--\; \cdot \; -->(a\times <!--\; \times \; -->b){)}^{1/2}+((b\times <!--\; \times \; -->c)\cdot <!--\; \cdot \; -->(b\times <!--\; \times \; -->c){)}^{1/2}+((c\times <!--\; \times \; -->a)\cdot <!--\; \cdot \; -->(c\times <!--\; \times \; -->a){)}^{1/2}]$

kde $a,b,c$ jsou tři různoběžné stranové vektory, "$\times <!--\; \times \; -->$" značí vektorový součin dvou vektorů a "$\cdot <!--\; \cdot \; -->$" značí skalární součin dvou vektorů.

Zobecněním vektorového součinu do $n$-rozměrného prostoru (jedná se o součin $(n-<!--\; -\; -->1)$ lineárně nezávislých vektorů délky $n$, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat $(n-<!--\; -\; -->1)$-rozměrný nadpovrch libovolného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Objem

Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů

$V=\left|(a\times <!--\; \times \; -->b)\cdot <!--\; \cdot \; -->c\right|=\left|(b\times <!--\; \times \; -->c)\cdot <!--\; \cdot \; -->a\right|=\left|(c\times <!--\; \times \; -->a)\cdot <!--\; \cdot \; -->b\right|.$

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D,E,F,G,H$ rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. $A=(x_A,y_A,z_A)$, $B=(x_B,y_B,z_B)$ atd., lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0,0)$, pak tedy

$V=|x_D{y}_B{z}_E+x_B{y}_E{z}_D+x_E{y}_D{z}_B-<!--\; -\; -->x_D{y}_E{z}_B-<!--\; -\; -->x_B{y}_D{z}_E-<!--\; -\; -->x_E{y}_B{z}_D|.$

Zcela analogicky lze spočítat obsah libovolného rovnoběžníku, resp. nadobjem libovoného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Související články

• Hranol
• Rovnoběžník

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu rovnoběžnostěn na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.