Ilustrace součtu dvou matic. V matematice je součet matic [1] binární operace na množině matic stejného typu definovaná sčítáním po složkách, tj. sečtením prvků na odpovídajících pozicích. Existují ale i další operace, které lze považovat za formu součtu matic a to direktní součet a Kroneckerův součet .
Součet po prvcích Standardní součet matic je definován pro dvě matice stejných rozměrů. Součet dvou matic
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
+
B
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}
(
A
+
B
)
i
j
=
a
i
j
+
b
i
j
{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
A
+
B
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
+
(
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
)
=
(
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}&={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}
Například:
(
1
3
1
0
1
2
)
+
(
0
0
7
5
2
1
)
=
(
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
)
=
(
1
3
8
5
3
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}}
Matice stejného typu lze i vzájemně odečítat. Rozdíl matic
A
−
B
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
(
A
−
B
)
i
j
=
a
i
j
−
b
i
j
{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}})_{ij}=a_{ij}-b_{ij}}
A
−
B
=
A
+
(
−
1
)
B
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}+(-1){\boldsymbol {B}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
(
1
3
1
0
1
2
)
−
(
0
0
7
5
2
1
)
=
(
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
)
=
(
1
3
−
6
−
5
−
1
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{pmatrix}}}
Další operace, která se používá méně často, je přímý součet (zápis ⊕). Kronekerův součet se též značí ⊕; rozdíl by měl být zřejmý. Přímý součet jakékoli dvojice matic
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
p
×
q
{\displaystyle p\times q}
(
m
+
p
)
×
(
n
+
q
)
{\displaystyle (m+p)\times (n+q)}
[2]
A
⊕
B
=
(
A
0
0
B
)
=
(
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\oplus {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}}
Například,
(
1
3
2
2
3
1
)
⊕
(
1
6
0
1
)
=
(
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}
Přímý součet matic je speciální typ blokové matice , konkrétně přímý součet čtvercových matic je bloková diagonální matice.
Přímý součet
n
{\displaystyle n}
⨁
i
=
1
n
A
i
=
d
i
a
g
(
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
,
A
n
)
=
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
)
,
{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{\boldsymbol {A}}_{i}={\rm {diag}}({\boldsymbol {A}}_{1},{\boldsymbol {A}}_{2},{\boldsymbol {A}}_{3},\dots ,{\boldsymbol {A}}_{n})={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{n}\\\end{pmatrix}}\,\!,}
kde nuly značí nulové matice odpovídajících rozměrů.
Například matice sousednosti sjednocení disjunktních grafů nebo multigrafů je přímým součtem matic sousedností grafů v sjednocení.
Kroneckerův součet Kroneckerův součet se liší od přímého součtu, ale používá stejnou značku ⊕. Definuje se použitím Kroneckerova součinu ⊗ a normálního maticového součtu. Pokud
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
I
k
{\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
k
×
k
{\displaystyle k\times k}
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\oplus {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}\otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes {\boldsymbol {B}}}
Odkazy Reference V tomto článku byl použit překlad textu z článku Matrix addition
Literatura BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce . Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9 BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra . 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1 HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 Petr Olšák: Lineární algebra Luboš Motl, Miloš Zahradník: Pěstujeme lineární algebru LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2009. Linear Algebra . [s.l.]: [s.n.]. (Schaum's Outline Series). ISBN 978-0-07-154352-1 Je zde použita šablona {{Cite book }} označená jako k „pouze dočasnému použití“. Související články Externí odkazy Česky:
Anglicky:
