Sloupcový vektor

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice typu $m\times <!--\; \times \; -->1$, tj. matice sestávající z jediného sloupce o $m$ prvcích:

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ x_m\end{array}\right)$

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

${\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ x_m\end{array}\right)}^T=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)$

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ x_m\end{array}\right]$

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

$x={\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m\end{array}\right)}^T$

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují mezerami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis v tabulce níže).

	Řádkový vektor	Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis	$(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)$	$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ x_m\end{array}\right)\text{ nebo }(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m{)}^T$
Alternativní zápis	$(x_1{x}_2\dots <!--\; \dots \; -->x_m)$	$\left(\begin{array}{c}{x}_1;x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x_m\end{array}\right)$

Operace

• Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

• Skalární součin dvou vektorů $x$ a $y$ je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru $x$ sloupcovým vektorem $y$:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=x^{T}y=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Kovariance a kontravariance vektorů