Sigma algebra: Porovnání verzí

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebra (sigma-algebra, též $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

V teorii míry se $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebra nazývá měřitelný prostor.

Měřitelná množina je každá množina ze systému množin tvořících $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebru (tj. každý prvek $A$ v níže uvedené definici).

Formální definice

Uspořádanou dvojici $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},A)$, kde $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ je libovolná množina a $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->P\left(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)$ je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebrou, jestliže $A$ obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$
2. jestliže $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->N)(M_n\in <!--\; \in \; -->A)$, pak $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{M}_n\in <!--\; \in \; -->A$
3. jestliže $M\in <!--\; \in \; -->A$, pak $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->M\in <!--\; \in \; -->A$

Další vlastnosti

• $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: $\left(\underset{M\in <!--\; \in \; -->A}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}M\right)\in <!--\; \in \; -->A$; dostaneme dosazením prázdné množiny za $M$ v poslední části definice
• $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->N)(A_n\in <!--\; \in \; -->R)$, pak $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{A}_n\in <!--\; \in \; -->R$

Použití

Koncept $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebry je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ hodnotu 1.

Měřitelná množina

Jestliže $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ je libovolná množina a $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},A)$ je $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-algebra, pak měřitelná množina je libovolná množina, která patří do $A$.

Související články

• $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$-okruh
• Pravděpodobnost

Reference

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.