Profesionální fotbalovou kariéru zahájil v týmu 1. FC Slovácku. Svůj debut v seniorské lize za ně zaznamenal 20. února roku 2015 při domácí prohře 1:2 s týmem FK Jablonec. Svůj první ligový gól vstřelil proti Dukle Praha 6. srpna 2016. Dne 31. srpna 2021 byl Zajíc zapůjčen do polského klubu Zagłębie Lubin. Dne 4. května 2022 bylo jeho hostování ukončeno. Následně zamířil do klubu SK Dynamo České Budějovice.