Výpočet plochy pomocí L'Huillierových vzorců

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.
Základní situace

Výpočet plochy pomocí L'Huillierových vzorců je výpočetní postup pro určení výměry rovinného obrazce, jehož hranice jsou tvořeny úsečkami. Krajní body těchto úseček (tedy lomové body hranice plochy, jejíž plocha je stanovována) jsou známé v souřadnicovém systému. Obvykle se používá v geodézii pro určení plochy pozemku. Členitost hranice (a tedy i počet lomových bodů) nejsou omezeny. Postup je pojmenován podle svého prvního zveřejnitele, švýcarského matematika Simona Antoina Jeana L'Huiliera.

Výpočet spočívá v rozdělení plochy na soustavu lichoběžníků a během vlastního výpočtu pak dochází ke sčítání a odčítání ploch těchto lichoběžníků. Pro výpočet plochy lichoběžníku je užit vzorec

P = ( v ) . ( z 1 + z 2 ) 2 {\displaystyle P={\frac {(v).(z_{1}+z_{2})}{2}}}

kde:

  • P = určovaná plocha
  • v = výška lichoběžníku
  • z1 = jedna z (vodorovných) základen lichoběžníku
  • z2 = druhá z (vodorovných) základen lichoběžníku


Důležité je, že lomové body hranice rovinného objektu musejí být číslovány v jednom systému, tedy buď ve směru chodu hodinových ručiček nebo naopak, avšak nikdy ne „na přeskáčku“.

Příklad výpočtu

Souřadnice lomových bodů

Příklad výpočtu bude ukázán na ploše trojúhelníku. Jeho lomové body jsou označeny čísly 1, 2 a 3 a body pak mají souřadnice:

  • bod 1 – x1, y1
  • bod 2 – x2, y2
  • bod 3 – x3, y3

Plocha obrazce A

Obrazec A

Obrazec A je lichoběžník, jehož plocha se stanoví dle vzorce: P A = ( x 2 − x 1 ) . ( y 2 + y 1 ) 2 {\displaystyle P_{A}={\frac {(x_{2}-x_{1}).(y_{2}+y_{1})}{2}}}

Po úpravě 2. P A = ( x 2 − x 1 ) . ( y 2 + y 1 ) {\displaystyle 2.P_{A}=(x_{2}-x_{1}).(y_{2}+y_{1})}

Plocha obrazce B

Obrazec B

Obrazec B je lichoběžník, jehož plocha se stanoví dle vzorce: P B = ( x 2 − x 3 ) . ( y 2 + y 3 ) 2 {\displaystyle P_{B}={\frac {(x_{2}-x_{3}).(y_{2}+y_{3})}{2}}}

Po úpravě 2. P B = ( x 2 − x 3 ) . ( y 2 + y 3 ) {\displaystyle 2.P_{B}=(x_{2}-x_{3}).(y_{2}+y_{3})}

Plocha obrazce C

Obrazec C

Obrazec C je lichoběžník, jehož plocha se stanoví dle vzorce: P C = ( x 3 − x 1 ) . ( y 3 + y 1 ) 2 {\displaystyle P_{C}={\frac {(x_{3}-x_{1}).(y_{3}+y_{1})}{2}}}

Po úpravě 2. P C = ( x 3 − x 1 ) . ( y 3 + y 1 ) {\displaystyle 2.P_{C}=(x_{3}-x_{1}).(y_{3}+y_{1})}

Celková plocha obrazce

Celková plocha obrazce se stanoví seskládáním jednotlivých ploch dle systému — A + B + C (viz schémata vpravo). Vzorec pak je v podobě:

2. P = − [ ( x 2 − x 1 ) . ( y 2 + y 1 ) ] + [ ( x 2 − x 3 ) . ( y 2 + y 3 ) ] + [ ( x 3 − x 1 ) . ( y 3 + y 1 ) ] {\displaystyle 2.P=-[(x_{2}-x_{1}).(y_{2}+y_{1})]+[(x_{2}-x_{3}).(y_{2}+y_{3})]+[(x_{3}-x_{1}).(y_{3}+y_{1})]}

Po roznásobení:

2. P = − [ x 2 . y 2 + x 2 . y 1 − x 1 . y 2 − x 1 . y 1 ] + [ x 2 . y 2 + x 2 . y 3 − x 3 . y 2 − x 3 . y 3 ] + [ x 3 . y 3 + x 3 . y 1 − x 1 . y 3 − x 1 . y 1 ] {\displaystyle 2.P=-[x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{1}-x_{1}.y_{2}-x_{1}.y_{1}]+[x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{3}-x_{3}.y_{2}-x_{3}.y_{3}]+[x_{3}.y_{3}+x_{3}.y_{1}-x_{1}.y_{3}-x_{1}.y_{1}]}

Následně se odstraní závorky:

2. P = − x 2 . y 2 − x 2 . y 1 + x 1 . y 2 + x 1 . y 1 + x 2 . y 2 + x 2 . y 3 − x 3 . y 2 − x 3 . y 3 + x 3 . y 3 + x 3 . y 1 − x 1 . y 3 − x 1 . y 1 {\displaystyle 2.P=-x_{2}.y_{2}-x_{2}.y_{1}+x_{1}.y_{2}+x_{1}.y_{1}+x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{3}-x_{3}.y_{2}-x_{3}.y_{3}+x_{3}.y_{3}+x_{3}.y_{1}-x_{1}.y_{3}-x_{1}.y_{1}}

Seřazení proměnných

Pro větší přehlednost je možné součiny seřadit podle jedné z proměnných.

Seřazení dle proměnné x

2. P = x 1 . y 1 − x 1 . y 1 + x 1 . y 2 − x 1 . y 3 − x 2 . y 1 − x 2 . y 2 + x 2 . y 2 + x 2 . y 3 + x 3 . y 1 − x 3 . y 2 − x 3 . y 3 + x 3 . y 3 {\displaystyle 2.P=x_{1}.y_{1}-x_{1}.y_{1}+x_{1}.y_{2}-x_{1}.y_{3}-x_{2}.y_{1}-x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{3}+x_{3}.y_{1}-x_{3}.y_{2}-x_{3}.y_{3}+x_{3}.y_{3}}

Po sečtení a odečtení stejných dvojic proměnných:

2. P = x 1 . y 2 − x 1 . y 3 − x 2 . y 1 + x 2 . y 3 + x 3 . y 1 − x 3 . y 2 {\displaystyle 2.P=x_{1}.y_{2}-x_{1}.y_{3}-x_{2}.y_{1}+x_{2}.y_{3}+x_{3}.y_{1}-x_{3}.y_{2}}

Vytknutí stejných proměnných x:

2. P = x 1 . ( y 2 − y 3 ) − x 2 . ( y 1 + y 3 ) + x 3 . ( y 1 − y 2 ) {\displaystyle 2.P=x_{1}.(y_{2}-y_{3})-x_{2}.(y_{1}+y_{3})+x_{3}.(y_{1}-y_{2})}

Úprava matematického znaménka:

2. P = x 1 . ( y 2 − y 3 ) + x 2 . ( y 3 − y 1 ) + x 3 . ( y 1 − y 2 ) {\displaystyle 2.P=x_{1}.(y_{2}-y_{3})+x_{2}.(y_{3}-y_{1})+x_{3}.(y_{1}-y_{2})}

Je možné sestavit vzorec:

2. P = ∑ i = 1 N x i . ( y i + 1 − y i − 1 ) {\displaystyle 2.P=\sum _{i=1}^{N}x_{i}.(y_{i+1}-y_{i-1})}

kde:

  • N = počet vrcholů (resp. lomových bodů) rovinného obrazce


Což lze upravit do podoby

P = ∑ i = 1 N x i . ( y i + 1 − y i − 1 ) 2 {\displaystyle P=\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}.(y_{i+1}-y_{i-1})}{2}}}

Důležité je, že pro platnost tohoto vzorce je nutné číslovat lomové body parcely ve směru chodu hodinových ručiček.

Seřazení dle proměnné y

2. P = x 1 . y 1 − x 1 . y 1 − x 2 . y 1 + x 3 . y 1 + x 1 . y 2 − x 2 . y 2 + x 2 . y 2 − x 3 . y 2 − x 1 . y 3 + x 2 . y 3 − x 3 . y 3 + x 3 . y 3 {\displaystyle 2.P=x_{1}.y_{1}-x_{1}.y_{1}-x_{2}.y_{1}+x_{3}.y_{1}+x_{1}.y_{2}-x_{2}.y_{2}+x_{2}.y_{2}-x_{3}.y_{2}-x_{1}.y_{3}+x_{2}.y_{3}-x_{3}.y_{3}+x_{3}.y_{3}}

Po sečtení a odečtení stejných dvojic proměnných:

2. P = − x 2 . y 1 + x 3 . y 1 + x 1 . y 2 − x 3 . y 2 − x 1 . y 3 + x 2 . y 3 {\displaystyle 2.P=-x_{2}.y_{1}+x_{3}.y_{1}+x_{1}.y_{2}-x_{3}.y_{2}-x_{1}.y_{3}+x_{2}.y_{3}}

Vytknutí stejných proměnných x:

2. P = − y 1 . ( x 2 − x 3 ) + y 2 . ( x 1 − x 3 ) − y 3 . ( x 1 − x 2 ) {\displaystyle 2.P=-y_{1}.(x_{2}-x_{3})+y_{2}.(x_{1}-x_{3})-y_{3}.(x_{1}-x_{2})}

Úprava matematického znaménka:

2. P = y 1 . ( x 3 − x 2 ) + y 2 . ( x 1 − x 3 ) + y 3 . ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle 2.P=y_{1}.(x_{3}-x_{2})+y_{2}.(x_{1}-x_{3})+y_{3}.(x_{2}-x_{1})}

Je možné sestavit vzorec:

2. P = ∑ i = 1 N y i . ( x i − 1 − x i + 1 ) {\displaystyle 2.P=\sum _{i=1}^{N}y_{i}.(x_{i-1}-x_{i+1})}

kde:

  • N = počet vrcholů (resp. lomových bodů) rovinného obrazce


Což lze upravit do podoby

P = ∑ i = 1 N y i . ( x i − 1 − x i + 1 ) 2 {\displaystyle P=\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}.(x_{i-1}-x_{i+1})}{2}}}

Důležité je, že pro platnost tohoto vzorce je nutné číslovat lomové body parcely ve směru chodu hodinových ručiček.

Odkazy

Související články

Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Výpočet_plochy_pomocí_L%27Huillierových_vzorců&oldid=18976897“
Zdroj datcs.wikipedia.org
Originálcs.wikipedia.org/wiki/Výpočet_plochy_pomocí_L´Huillierových_vzorců
X 
Zobrazit sloupec 
Kurzy.cz > Aktuálně > Monitor tisku > Wikipedie
neděle 23.6.2024 13:16:36

Kalkulačka - Výpočet

Výpočet čisté mzdy

Důchodová kalkulačka

Přídavky na dítě

Příspěvek na bydlení

Rodičovský příspěvek

Životní minimum

Hypoteční kalkulačka

Povinné ručení

Banky a Bankomaty

Úrokové sazby, Hypotéky

Směnárny - Euro, Dolar

Práce - Volná místa

Úřad práce, Mzda, Platy

Dávky a příspěvky

Nemocenská, Porodné

Podpora v nezaměstnanosti

Důchody

Investice

Burza - ČEZ

Dluhopisy, Podílové fondy

Ekonomika - HDP, Mzdy

Kryptoměny - Bitcoin, Ethereum

Drahé kovy

Zlato, Investiční zlato, Stříbro

Ropa - PHM, Benzín, Nafta, Nafta v Evropě

Podnikání

Města a obce, PSČ

Katastr nemovitostí

Katastrální úřady

Ochranné známky

Občanský zákoník

Zákoník práce

Stavební zákon

Daně, formuláře

Další odkazy

Auto - Cena, Spolehlivost

Registr vozidel - Technický průkaz, eTechničák

Finanční katalog

Volby, Mapa webu

English version

Czech currency

Prague stock exchange

Ochrana dat, Cookies

 

Copyright © 2000 - 2024

Kurzy.cz, spol. s r.o., AliaWeb, spol. s r.o.

Reklama na kurzy.cz

Kontakty pro kurzy.cz

Vyloučení odpovědnosti

Použití | RSS | HTML kódy | S