Vlnová rovnice

Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.

Vlnová rovnice obecně

Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^2}+...+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^2}$

nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}z$

kde $z$ představuje skalární funkci polohy a času.

V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}z+f(x_1,x_2,...,x_n)$.

Vlnová rovnice v elektromagnetismu

Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase $t$ po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce $l$:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}i\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}i\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->B\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}i\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->Ai\left(t,x\right)=0$

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}u\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}u\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->B\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}u\left(t,x\right)-<!--\; -\; -->Au\left(t,x\right)=0$

$c^2=\frac{1}{\text{LC}}$$B=\left(RC+LG\right)$$A=RG$

řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:

$i\left(0,x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i\left(x\right)$ resp. $i\left(t,0\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i\left(t\right)$

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}i\left(0,x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i}\left(x\right)$ resp. $i\left(t,l\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i\left(t\right)$

$u\left(0,x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_u\left(x\right)$ resp. $u\left(t,0\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_u\left(t\right)$

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}u\left(0,x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_u}\left(x\right)$ resp. $u\left(t,l\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_u\left(t\right)$

mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$ resp. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$:

$I\left(x\right)=I\left(0\right)\cosh <!--\; \; -->px-<!--\; -\; -->Y_{0}U\left(0\right)\sinh <!--\; \; -->px={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i\left(x\right)$

$U\left(x\right)=U\left(0\right)\cosh <!--\; \; -->px-<!--\; -\; -->Z_{0}I\left(0\right)\sinh <!--\; \; -->px={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_u\left(x\right)$

resp.

$I\left(x\right)=I\left(l\right)\cosh <!--\; \; -->p(x-<!--\; -\; -->l)-<!--\; -\; -->Y_{0}U\left(l\right)\sinh <!--\; \; -->p(x-<!--\; -\; -->l)={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i\left(x\right)$

$U\left(x\right)=U\left(l\right)\cosh <!--\; \; -->p(x-<!--\; -\; -->l)-<!--\; -\; -->Z_{0}I\left(l\right)\sinh <!--\; \; -->p(x-<!--\; -\; -->l)={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_u\left(x\right)$

kde:

$p^2=\left(R+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}L\right)\left(G+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}C\right)=ZY$$Z_0\equiv <!--\; \equiv \; -->\sqrt{\frac{Z}{Y}}$$Y_0\equiv <!--\; \equiv \; -->\sqrt{\frac{Y}{Z}}$

a $R,L,G,C$ jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ je úhlová frekvence sítě.

Související články

• Vlnění
• Schrödingerova rovnice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnová rovnice na Wikimedia Commons
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě

Autoritní data	NKC: ph327629 NDL: 00562751 NLI: 987007553506205171