Weierstrassova funkce

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi, je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci (není nikde hladká).

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.^[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

• Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…), en:Weierstrass function a http://planetmath.org/… Archivováno 12. 3. 2007 na Wayback Machine.:

$f\left(x\right)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}^n\cos <!--\; \; -->\left(b^n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x\right)$

kde , $b$ je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

$ab>1+\frac{3}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou $ab\ge <!--\; \ge \; -->1$.

• Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

$f_a\left(x\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{k}^{a}x\right)}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{k}^a}$

přičemž údajně podle původní publikace $a=2$. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů^[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

• Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.^[1][3]

Související články

• Rozumná funkce
• Riemannova funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Weierstrassova funkce na Wikimedia Commons

Reference