Wienerův filtr

Wienerův filtr byl navržen tak, aby dokázal zpětně rekonstruovat obrázek, který byl poničen šumem nebo špatnou impulzní odezvou snímacího zařízení. Tato problematika je popsána v článku o rekonstrukci a předzpracování obrazu. Opět jde o to vyřešit tzv. radiometrický inverzní problém, tedy vyjádřit z následující rovnice proměnou $u(x,y)$, což je požadovaný obrázek ještě před deformací špatným fotoaparátem nebo šumem.

$z(x,y)=(u\ast <!--\; \ast \; -->h)(x,y)+n(x,y)$

$h(x,y)$ značí impulzní odezvu snímacího zařízení a $n(x,y)$ přidaný šum

Požadavky kladené na filtr

Jak je zřejmé z prvního matematického vztahu, Wienerův filtr má za úkol spočítat inverzní konvoluci za přítomnosti nenulového šumu. Problém inverzní konvoluce řeší i inverzní filtr, ale jeho korektní funkčnost je omezena jen na obrázky bez šumu. K odvození Wienerova filtru vedly následující dva předpoklady:

• $E(\Vert <!--\; \Vert \; -->f^{\prime }(x,y)-<!--\; -\; -->f_i(x,y\left){\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2\right)$ → minimální

tedy, že střední hodnota druhé mocniny přes všechny realizace šumu a pro jejich všechny parametry bude mít od hledaného obrázku minimální vzdálenost. $f_i(x,y)$ značí hledaný obrázek se všemi známými realizacemi šumu a jejich parametry, $f^{\prime }(x,y)$ značí náš obrázek před deformací šumem. Jak patrné z prvního kritéria, tak metoda vychází z empirických znalostí šumů a pravděpodobnosti jejich rozdělení v obrázku. Druhý požadavek na Wienerův filtr je, aby byl lineární. Tento požadavek se formuluje pro frekvenční oblasti obrázků. Tedy nechť $F\left(f^{\prime }\right)=F$ je Fourierova transformace původní obraz, tak jak vypadá bez šumu. $F\left(g\right)=G$ je zašuměný obrázek, který má být opraven a $R$ je nějaká transformační matice, jež násobením transformuje poškozený obrázek do jeho "opravené" varianty. Zmiňovaná linearita filtru má tedy tvar (parametry funkcí $(u,v)$ označují souřadnice ve frekvenční (Fourierově) oblasti):

• $F\left(f^{\prime }\right)(u,v)=F\left(g\right)(u,v)\cdot <!--\; \cdot \; -->R(u,v)$  →  $F^{\prime }(u,v)=G(u,v)\cdot <!--\; \cdot \; -->R(u,v)$

Vzorec filtru a jeho parametrizace

Z předchozích požadavků byl odvozen následující filtr, který po vynásobení (jedná se o násobení matic po prvcích) s maticí poničeného obrázku dá rekonstruovaný obraz:

$R(u,v)=\frac{1}{H(u,v)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+S_n(u,v)/S_f(u,v)}$

V tomto vzorci $H(u,v)$ značí Fourierův obraz impulzní odezvy $h(x,y)$ a podíl $S_n(u,v)/S_f(u,v)$ je jiný zápis tzv. poměr signálu a šumu (SNR), což nám určuje míru zašumění obrázku. Vidíme, že tento výraz obecně závisí na parametrech frekvence $(u,v)$. Ale za předpokladu bílého šumu můžeme $S_n(u,v)$ psát jako rozptyl šumu ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n^2$ (což je konstanta v celém obrázku), dále budeme předpokládat nekorelovanost obrázku (což v reálu neplatí, ale jako přiblížení se dá použít) a můžeme tedy $S_f(u,v)$ aproximovat rozptylem obrázku ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_f^2$. (Rozptyly jsou vlastně odhady energie šumu a energie obrázku). Z tohoto přiblížení nám vyjde, že podíl $S_n(u,v)/S_f(u,v)$ máme roven konstantně (číslu) ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n^2/{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_f^2$. V praxi to znamená, že za tento podíl dosazujeme různá čísla (např. od 0.001 do 1000) a koukáme, co nám dá nejlepší výsledek. Když Wienerův filtr aplikujeme na nezašuměný obrázek (tedy $S_n(u,v)$ bude rovno nule), pak nám tento filtr $R(u,v)$ přechází v $R(u,v)=\frac{1}{H(u,v)}$, což je předpis pro inverzní filtr.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Wienerův filtr na Wikimedia Commons