Deformace

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_j=y_j(x_i,0)=x_j$. V čase $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_j=y_j(x_i,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t)$. Lze definovat vektor posunutí $u_i$ jako

$u_i=y_i-<!--\; -\; -->x_i$

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

$y_j=x_j+u_j\left(x_i\right)$

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod $x_j$ kontinua a v jeho okolí bod $x_j+d{x}_j$, pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_j$ přesune do bodu $y_j$ a bod $x_j+d{x}_j$ do bodu $y_j+d{y}_j$. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_j$ jako $u_j$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_j+d{x}_j$ jako $u_j+d{u}_j$, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_j$, můžeme použít zápis

$d{y}_j=d{x}_j+d{u}_j=d{x}_j+\left(\frac{d{u}_j}{d{x}_i}\right)d{x}_i$

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_j$ a $x_j+d{x}_j$ určena jako $\sqrt{d{x}_{j}d{x}_j}$. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_j$ a $x_j+d{x}_j$ určena jako $\sqrt{d{y}_{j}d{y}_j}$ (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_j$ a konečné $y_j$, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

$d{y}_{j}d{y}_j-<!--\; -\; -->d{x}_{j}d{x}_j$

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

$d{y}_{j}d{y}_j-<!--\; -\; -->d{x}_{j}d{x}_j=2{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{lk}d{x}_{l}d{x}_k$

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{lk}=\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_l}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_l}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}+\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_l}\right)\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}\right)\right]$

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{lk}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{lk}\left(x_i\right)$, a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_i$ se souřadnicemi $x_j$, tzn. jsou malé také parciální derivace $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}$. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_l}\right)\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}\right)$ malý ve srovnání s členy $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_l}$ a $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_l}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

$e_{lk}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_l}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_l}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}\right)$

Pro malé deformace tedy platí

$d{y}_{j}d{y}_j-<!--\; -\; -->d{x}_{j}d{x}_j=2e_{lk}d{x}_{l}d{x}_k$

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{e}}_{lk}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_l}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_l}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_k}\right)$

a platí

$d{y}_{j}d{y}_j-<!--\; -\; -->d{x}_{j}d{x}_j=2{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{e}}_{lk}d{y}_{l}d{y}_k$

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $d{x}_i$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $d{y}_j$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru $e_{ij}$ na izotropní část a deviátor

$e_{ij}=\frac{e_I{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}{3}+\left(e_{ij}-<!--\; -\; -->\frac{e_I{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}{3}\right)$,

kde $e_I$ je stopa tenzoru malých deformací a ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$ je Kroneckerovo delta. Označuje se

$e_{ij}^{\left(s\right)}=\frac{e_I{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}{3}$

jako izotropní část a

$e_{ij}^{\left(d\right)}=e_{ij}-<!--\; -\; -->\frac{e_I{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}{3}$

jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru $e_{ij}$ lze určit následující úvahou.

Výraz $d{x}_{1}d{x}_1$ je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení $l_0^2$. Podobně pro výraz $d{y}_{i}d{y}_i$, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení $l^2$. Potom platí

$\frac{l^2-<!--\; -\; -->l_0^2}{l_0^2}=2e_{11}$

Pro malé deformace je $l_0\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{=}l$, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu $\frac{l^2-<!--\; -\; -->l_0^2}{l_0^2}=\frac{(l-<!--\; -\; -->l_0)(l+l_0)}{l_0^2}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{=}\frac{(l-<!--\; -\; -->l_0)2l_0}{l_0^2}=2\frac{l-<!--\; -\; -->l_0}{l_0}$, čímž získáme

$e_{11}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{=}\frac{l-<!--\; -\; -->l_0}{l_0}$

Složka tenzoru $e_{11}$ malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou $x_1$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky $e_{22}$ a $e_{33}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami $x_2$ a $x_3$.

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami $x_1,x_2$. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky $e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}$. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. $e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\ne <!--\; \ne \; -->0$, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_1$, tzn. lze jej před deformací popsat vektorem $(d{x}_1,0)$, lze po deformaci popsat vektorem $\left(d{x}_1,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}d{x}_1\right)$, kde $u_2$ je složka vektoru posunutí podél osy $x_2$. Pro úhel ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$ mezi vektory $(d{x}_1,0)$ a $\left(d{x}_1,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}d{x}_1\right)$ platí

$\mathrm{tg}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}$

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_2$, který je možné před deformací popsat vektorem $(0,d{x}_2)$, určit složky tohoto elementu po deformaci jako $\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}d{x}_2,d{x}_2\right)$. Pro úhel ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$ mezi vektory $(0,d{x}_2)$ a $\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}d{x}_2,d{x}_2\right)$ platí

$\mathrm{tg}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}$

Pro malé deformace lze použít aproximaci $\mathrm{tg}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\approx <!--\; \approx \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$, což umožňuje psát

$2e_{12}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$

Smíšená složka tenzoru deformace $e_{12}$ tedy odpovídá polovině úhlu ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$, o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami $x_1$ a $x_2$. Úhel ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$ se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka $e_{12}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku $e_{13}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku $e_{23}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky $e_{ij}$, kvádr, jehož hrany mají před deformací délky $l_{01},l_{02},l_{03}$, přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na $l_1,l_2,l_3$. Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

$\frac{l_i-<!--\; -\; -->l_{0i}}{l_{0i}}=e_{ii}$

pro $i=1,2,3$.

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako $l_i=l_{0i}+l_{0i}{e}_{ii}$. Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

$V=l_1{l}_2{l}_3=(l_{01}+l_{01}{e}_{11})(l_{02}+l_{02}{e}_{22})(l_{03}+l_{03}{e}_{33})=l_{01}{l}_{02}{l}_{03}+l_{01}{l}_{02}{l}_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_0+V_0{e}_I$

což bývá obvykle zapisováno jako

$e_I=\frac{V-<!--\; -\; -->V_0}{V_0}$,

kde $V_0$ je objem tělesa před deformací a $V$ je objem tělesa po deformaci. Stopa $e_I$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části $e_{ij}$ je stejná jako stopa celého tenzoru $e_{ij}$, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru $\mathrm{Tr}{e}^{\left(d\right)}$ je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.

Související články

• Rotace
• Translace
• Topologické zobrazení
• Rovnice kompatibility deformací
• Rychlost deformace
• Deformační metoda

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu deformace na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph119357 PSH: 3061 LCCN: sh85036465 NLI: 987007545605305171