Gaussova funkce

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné $x$ se třemi parametry $a,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ ve tvaru

$f\left(x\right)=a{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{{\left(x-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\right)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}}.$

Čísla $a$ a $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ musí být kladná, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$ je libovolné reálné, $e$ je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě $x=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$ vrchol o výšce $a$, který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ určuje šířku „kopce“ ve výšce $a{e}^{-<!--\; -\; -->1/8}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,882}5a$. V polovině výšky má graf šířku $2\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\ln <!--\; \; -->2}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,354}8\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$.

Normalizované funkce

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx=1$

Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty $a$. Nejjednodušší gaussovskou funkcí je $g\left(x\right)=e^{-<!--\; -\; -->x^2}$, jejíž integrál je roven $\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

$g_n\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}.$

Parametr $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$ pouze posouvá graf podél osy $x$, takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2}$. Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

$f_n\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{{\left(x-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\right)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}}.$

Parametr $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$ má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0$ je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}\left(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x\right)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}x}dx=a\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2/2}$

Je-li navíc $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=1$, je Gaussova funkce obrazem sama sebe ($\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}=f$), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

$f_n\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2/2}.$

Odkazy

Související články

• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Gaussian Function – Wolfram MathWorld