Heavisideova funkce

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Definice

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí $p=H_p\left(0\right)$).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule

Parametr $p$ z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny $\left\{0\right\}$ je nulová.

Nastavíme-li $p=H\left(0\right)=1/2$, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

$H\left(x\right)=\frac{1+\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(x\right)}{2}$

Pro případ, kdy $p=1$ nebo $p=0$ můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: $H_1={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{⟨<!--\; ⟨\; -->0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$ respektive $H_0={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$ kde ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_M$ značí charakteristickou funkci množiny $M$.

Vlastnosti

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

$H\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^x\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(t\right)dt$

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Odkazy

Související články

• Charakteristická funkce
• Diracovo delta
• Macaulayova závorka
• Náběhová funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Heavisideova funkce na Wikimedia Commons
• (anglicky) MathWorld, Heaviside Step Function: http://mathworld.wolfram.com/…
• (anglicky) PlanetMath, Heaviside step function: http://planetmath.org/… Archivováno 2. 2. 2009 na Wayback Machine.
• (anglicky) MathWorks, Heaviside: http://www.mathworks.com/…