Ideál (teorie okruhů)

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Definice

Množina I R {\displaystyle \emptyset \neq I\subseteq R} , kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

  • pro každé a , b I {\displaystyle a,b\in I} je také a b I {\displaystyle a-b\in I}
  • pro každé a I {\displaystyle a\in I} a každé r R {\displaystyle r\in R} je také r a I {\displaystyle r\cdot a\in I} resp. a r I {\displaystyle a\cdot r\in I}

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

  • V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
  • Každá podmnožina tvaru ( a ) = { a r ; r R } {\displaystyle (a)=\{a\cdot r;r\in R\}} je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
  • V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
  • Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé a I {\displaystyle a\in I} a každé r R {\displaystyle r\in R} je také r a I {\displaystyle r\cdot a\in I} resp. a r I {\displaystyle a\cdot r\in I} . Stačí volit třeba a = 3 , r = 1 2 {\displaystyle a=3,r={\frac {1}{2}}} , pak 3 Z {\displaystyle 3\in Z} a 3 1 2 = 3 2 Z {\displaystyle 3\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\notin Z}

Operace s ideály

  • průnik ideálů I,J je ideál I J {\displaystyle I\cap J} , který je největším ideálem, obsaženým v obou ideálech I,J.
  • součet ideálů I,J je ideál I + J = { i + j ; i I , j J } {\displaystyle \,I+J=\{i+j;i\in I,j\in J\}} , který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
  • součin ideálů I,J je ideál I J = { k = 1 n a k b k ; n N , a k I , b k J } {\displaystyle I\cdot J=\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k};n\in N,a_{k}\in I,b_{k}\in J\}}

Vlastnosti

  • Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li I R {\displaystyle I\neq R} a pro každý ideál J, že I J {\displaystyle I\subseteq J} , je I = J nebo J = R.
  • Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé a , b R {\displaystyle a,b\in R} takové, že a b I {\displaystyle a\cdot b\in I} , je buďto a I {\displaystyle a\in I} nebo b I {\displaystyle b\in I} .
  • Jsou-li a 1 , a 2 , {\displaystyle a_{1},a_{2},} … , a k {\displaystyle a_{k}} libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. ( r 1 , r 2 , {\displaystyle (\forall r_{1},r_{2},} … , r k R ) {\displaystyle r_{k}\in R)} a 1 r 1 + a 2 r 2 + {\displaystyle a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+} + a k r k I {\displaystyle +a_{k}r_{k}\in I} .

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

  • Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
  • Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
  • Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť M = { a 1 , a 2 , {\displaystyle M=\{a_{1},a_{2},} , a k R } {\displaystyle ,a_{k}\subseteq R\}} . Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru ( r 1 , r 2 , {\displaystyle (\forall r_{1},r_{2},} … , r k R ) {\displaystyle r_{k}\in R)} a 1 r 1 + a 2 r 2 + {\displaystyle a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+} + a k r k I {\displaystyle +a_{k}r_{k}\in I} , tj. [M] = I, kde I = { a 1 r 1 + a 2 r 2 + {\displaystyle I=\{a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+} + a k r k ; r 1 , r 2 , {\displaystyle +a_{k}r_{k};r_{1},r_{2},} , r k R } {\displaystyle ,r_{k}\in R\}} .


Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: x f 1 ( x ) + 2 f 2 ( x ) {\displaystyle x\cdot f_{1}(x)+2\cdot f_{2}(x)} kde f 1 ( x ) , f 2 ( x ) Z [ x ] {\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)\in Z[x]} .

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů a 0 + a 1 x + {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+} + a x x n Z [ x ] {\displaystyle +a_{x}x^{n}\in Z[x]} , jejíž člen a0 je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Odkazy

Literatura

  • BLAŽEK, Jaroslav, KOMAN, Milan a VOJTÁŠKOVÁ, Blanka. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články


Zdroj datcs.wikipedia.org
Originálcs.wikipedia.org/wiki/Ideál_(algebra)
Zobrazit sloupec 

Kalkulačka - Výpočet

Výpočet čisté mzdy

Důchodová kalkulačka

Přídavky na dítě

Příspěvek na bydlení

Rodičovský příspěvek

Životní minimum

Hypoteční kalkulačka

Povinné ručení

Banky a Bankomaty

Úrokové sazby, Hypotéky

Směnárny - Euro, Dolar

Práce - Volná místa

Úřad práce, Mzda, Platy

Dávky a příspěvky

Nemocenská, Porodné

Podpora v nezaměstnanosti

Důchody

Investice

Burza - ČEZ

Dluhopisy, Podílové fondy

Ekonomika - HDP, Mzdy

Kryptoměny - Bitcoin, Ethereum

Drahé kovy

Zlato, Investiční zlato, Stříbro

Ropa - PHM, Benzín, Nafta, Nafta v Evropě

Podnikání

Města a obce, PSČ

Katastr nemovitostí

Katastrální úřady

Ochranné známky

Občanský zákoník

Zákoník práce

Stavební zákon

Daně, formuláře

Další odkazy

Auto - Cena, Spolehlivost

Registr vozidel - Technický průkaz, eTechničák

Finanční katalog

Volby, Mapa webu

English version

Czech currency

Prague stock exchange


Ochrana dat, Cookies

 

Copyright © 2000 - 2024

Kurzy.cz, spol. s r.o., AliaWeb, spol. s r.o.