Průnik

V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách. Průnik množin A a B se označuje symbolem A ∩ B.

Formální definice

Pro všechna x platí, že $x\in <!--\; \in \; -->\left(A\cap <!--\; \cap \; -->B\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\left(x\in <!--\; \in \; -->A\right)\wedge <!--\; \wedge \; -->\left(x\in <!--\; \in \; -->B\right)$.

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že x ∈ A ∩ B ∩ C iff x ∈ A a zároveň x ∈ B a zároveň x ∈ C. Průnik $n$ množin $A_1,A_2,...,A_n$ lze zkráceně psát

$A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2\cap <!--\; \cap \; -->...\cap <!--\; \cap \; -->A_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{A}_i$

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Současný průnik všech tří množin – A ∩ B ∩ C – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že A ∩ B = B ∩ A.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy $A\cap <!--\; \cap \; -->I=A$.

Výsledkem průniku množiny $A$ s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. $A\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$.

Je-li výsledkem průniku dvou množin $A,B$ prázdná množina, pak platí $A\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->-<!--\; -\; -->A$, kde $-<!--\; -\; -->A$ je doplňkem množiny $A$.

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce a zároveň.

Mohutnost průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |A ∩ B| ≤ min { |A|, |B| }.

Průnik je idempotentní, tzn. platí $A\cap <!--\; \cap \; -->A=A$.

Související články

• Množinové operace
• Sjednocení
• Rozdíl množin
• Doplněk množiny
• UNION

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu průnik na Wikimedia Commons

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine

Autoritní data	GND: 4327382-8