Integrální rovnice

Integrální rovnice je v matematice taková rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Integrální rovnice úzce souvisejí s diferenciálními rovnicemi a některé problémy mohou být formulovány oběma způsoby (např. Maxwellovy rovnice).

Za zakladatele teorie integrálních rovnic se považuje Erik Ivar Fredholm, později k ní významně přispěl Vito Volterra.

Klasifikace integrálních rovnic

Integrální rovnice lze rozdělit na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí proměnné x.

Další dělení je na rovnice prvního a druhého druhu. V rovnicích prvního druhu se neznámá funkce nachází jen pod integrálem, v rovnicích druhého druhu se nachází pod integrálem i mimo integrál.

Fredholmovy rovnice prvního druhu

Nejzákladnějším typem integrálních rovnic jsou Fredholmovy rovnice prvního druhu. Jsou to integrální rovnice tvaru

$f\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt,$

kde $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ je neznámá funkce, f je známá funkce a K je další známá funkce dvou proměnných, často nazývaná jádro (jaderná funkce). Integrál má pevné meze.

Fredholmovy rovnice druhého druhu

Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou rovnice s konstantním rozsahem integrace a s neznámou funkcí nacházející se jak v integrandu, tak i mimo něj. Jsou to integrální rovnice tvaru

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x\right)=f\left(x\right)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt.$

Číslo $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako vlastní číslo v lineární algebře. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.

Volterrovy rovnice prvního druhu

Volterrovy rovnice prvního druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic prvního druhu, ve kterém je jedna z hranic integračního rozsahu funkcí proměnné x. Volterrovy rovnice prvního druhu mají tvar:

$f\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{x}K(x,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt.$

Volterrovy rovnice druhého druhu

Volterrovy rovnice druhého druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic druhého druhu. Jedna z hranic integračního rozsahu je funkcí proměnné x. Rovnice tohoto typu mají tvar:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x\right)=f\left(x\right)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{x}K(x,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt.$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integrálna rovnica na slovenské Wikipedii.

Související články

• Diferenciální rovnice
• Integrodiferenciální rovnice

Autoritní data	NKC: ph121135 PSH: 7630 BNF: cb11955417x (data) LCCN: sh85067088 NDL: 00570561 NLI: 987007555516205171