Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existuje nekonečně mnoho průměrů, ze známějších např. zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich běžné užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako $K$, aritmetický průměr $A$, geometrický průměr $G$ a harmonický průměr $H$, pak platí:

$K\ge <!--\; \ge \; -->A\ge <!--\; \ge \; -->G\ge <!--\; \ge \; -->H$

Rovnost navíc nastává právě tehdy, když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro čísla 1 a 9 je

$K=\sqrt{\frac{1^2+9^2}{2}}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{=}6,4\ge <!--\; \ge \; -->A=5\ge <!--\; \ge \; -->G=\sqrt{9}=3\ge <!--\; \ge \; -->H=\frac{1}{\frac{1+1/9}{2}}=1,8$

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Kvadratický průměr
• Aritmetický průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr

Externí odkazy

• Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK