Nevlastní integrál

Riemannův integrál je definovaný na intervalu konečné délky, tj. na úsečce. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky. Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity.

Definice

Jestliže funkce $f$ je integrovatelná na každém konečném intervalu $⟨<!--\; ⟨\; -->a,b⟩<!--\; ⟩\; -->$ a existuje vlastní limita:

$\underset{t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{t}f\left(x\right)dx$ resp. $\underset{t\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_t^{b}f\left(x\right)dx$,

pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi a píšeme:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$ resp. ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{b}f\left(x\right)dx$,

jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.

Konvergují-li integrály ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{a}f\left(x\right)dx$ a ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$, říkáme, že integrál ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$ konverguje, a píšeme:

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{a}f\left(x\right)dx+{\int <!--\; \int \; -->}_a^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$.

Neexistuje-li alespoň jeden z integrálů ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{a}f\left(x\right)dx$ a ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$, říkáme, že integrál ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(x\right)dx$ diverguje.

Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce, např.:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^1\frac{1}{x^2}dx=\underset{a\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^1\frac{1}{x^2}dx$.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

• Newtonův integrál
• Riemannův integrál
• Gaussův integrál

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Nevlastní integrál na Wikimedia Commons