Dostředivé zrychlení

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) $a_n$. Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí $a_d$.

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

$a_n=\frac{d{v}_n}{dt}=\frac{v^2}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$,

kde $d{v}_n$ je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, $v$ je okamžitá rychlost a $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$ je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$ roven poloměru kružnice $r$. Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

$a_d=\frac{v^2}{r}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->r$,

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$

$\frac{v_a}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v}=\frac{r}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}$

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s$ aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

$v_a\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s=r\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v=\frac{v_a\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}{r}$

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}=\frac{v_a}{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$

Obě strany rovnice vydělíme $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$ a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

$a=\frac{v_a}{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->v_a$

$\to <!--\; \to \; -->a=\frac{v_a^2}{r}\iff <!--\; \iff \; -->a={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->r$

Související články

• Zrychlení
• Tečné zrychlení
• Dostředivá síla