V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly, nejstarší známý příklad neasociativního okruhu.
Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. výlučným Lieovým grupám typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.[1]
Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony.
Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a asociátor.
Historie
Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.
Definice
Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel, pro které je však – na rozdíl od vektorů – definována vzájemně jednoznačná a invertibilní operace dělení. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru
- x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k + x4 l + x5 li + x6 lj + x7 lk.
kde xa jsou reálná čísla.
Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.
| 1 | i | j | k | l | li | lj | lk |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i | −1 | k | −j | −li | l | −lk | lj |
| j | −k | −1 | i | −lj | lk | l | −li |
| k | j | −i | −1 | −lk | −lj | li | l |
| l | li | lj | lk | −1 | −i | −j | −k |
| li | −l | −lk | lj | i | −1 | −k | j |
| lj | lk | −l | −li | j | k | −1 | −i |
| lk | −lj | li | −l | k | −j | i | −1 |
Vlastnosti
Násobení oktonionů není ani komutativní:
- ij = −ji ≠ ji
ani asociativní:
- (ij)l = −i(jl) ≠ i(jl)
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu oktonion na Wikimedia Commons
Reference
- ↑ J. Baez: The Octonions. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Errata in Bull Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213. On-line: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/
| Zdroj dat | cs.wikipedia.org |
|---|---|
| Originál | cs.wikipedia.org/wiki/Oktonion |
