Polární báze je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to taková báze vektorového prostoru, vůči které má daná bilineární forma diagonální matici. Prvky polární báze lze považovat v jistém smyslu za na sebe kolmé vzhledem k dané bilineární formě. V unitárních prostorech nad komplexními čísly se používá pojem polární báze i pro seskvilineární formy.
Definice
Nechť f je bilineární forma na vektorovém prostoru V. Báze B prostoru V se nazývá polární báze f, je-li pro každé dva různé prvky b, c ∈ B f(b,c) = 0.
Nechť charakteristika tělesa T je různá od 2 a V je vektorový prostor nad T. Pro danou kvadratickou formu q zvolíme bilineární formu fq předpisem fq(u,v) = q(u + v) - 1/2 (q(u) + q(v)) (pak q(u) = fq(u,u)). Pak polární bází q se nazývá každá polární báze fq.
Existence
Platí následující tvrzení:
- Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T charakteristiky různé od 2. Pro každou symetrickou bilineární formu f na V existuje polární báze.
Důkaz
Důkaz této věty probíhá snadnou indukcí podle dimenze V.
Pro dimenzi rovnou 1 je zřejmě každá báze polární.
Nechť tvrzení platí pro dimenzi n - 1. Mohou nastat dvě možnosti:
- f je konstantně nulová. Pak jakákoli báze V je polární.
- Existují u, v, že . Pak nutně existuje w, že (jinak totiž f(u + v,u + v)= f(u,u) + 2f(u,v) + f(v,v) = 2f(u,v), což není nula). Množina W všech u takových, že f(w,u) = 0 tvoří podprostor V dimenze n - 1 neobsahující w. Podle indukčního předpokladu má tedy W polární bázi {u1,…,un - 1}. Z volby W pak plyne, že {u1,…,un - 1,w} je polární báze V.
Komplexní čísla
V unitárním prostoru nad komplexními čísly se potom používá (oproti ) silnější tvrzení:
- Nechť V je unitární prostor nad s ortogonální bází B. Pro každou seskvilineární formu, jejíž matice je vůči B normální, existuje polární báze P taková, že matice přechodu mezi B a P je unitární.
Toto vyplývá z faktu, že normální matice jsou ortogonálně diagonalizovatelné, tedy lze najít takovou unitární matici U, že , kde D je diagonální matice.
Signatura kvadratických forem
Je-li q kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru, je bilineární forma fq definovaná předpisem fq(u,v) = 1/2 (q(u + v) - q(u) - q(v)) symetrická. Z tvrzení o existenci polárních bází tedy plyne, že q má polární bázi.
Trojice (n(q), k(q), z(q)), kde n(q), k(q) a z(q) značí po řadě počet prvků u dané polární báze q, pro něž je q(u) nulové, resp. kladné, resp. záporné, se nazývá signatura kvadratické formy q.
Skutečnost, že signatura q je stejná pro libovolnou volbu polární báze, vyjadřuje tzv. Zákon setrvačnosti kvadratických forem.
Kvadratická forma se signaturou (n, k, z) se nazývá:
- pozitivně definitní, je-li n = z = 0.
- pozitivně semidefinitní, je-li z = 0.
- negativně definitní, je-li n = k = 0.
- negativně semidefinitní, je-li k = 0.
- indefinitní, je-li k, z > 0.
Příklady
- Je-li f symetrická pozitivně definitní, tj. f je skalární součin, pak vektory tvořící polární bázi f jsou na sebe po dvou kolmé.
Odkazy
Související články
Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |
Zdroj dat | cs.wikipedia.org |
---|---|
Originál | cs.wikipedia.org/wiki/Polární_báze |