Prostorový úhel

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše.^[1][2][3] Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{VX}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.^[4][5][6]

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Prostorový úhel jako fyzikální veličina

Prostorový úhel jako veličina se používá k vymezení určité části možných směrů z daného prostorového bodu, a to zejména ve veličinách charakterizující šíření elektromagnetického vlnění (včetně světla) či korpuskulárního záření (toky a proudy částic).

Definice

Prostorový úhel jako veličina charakterizuje velikost části prostoru vyťaté obecnou kuželovou plochou (bez ohledu na její konkrétní tvar či směřování) pomocí obsahu $A$ plochy jí vymezené na kulové ploše (sféře) se středem ve vrcholu kuželové plochy^{[pozn. 1]} a s poloměrem $r$, a to nezávisle na velikosti (poloměru) sféry.

Definiční vztah:^[7]

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{A}{r^2}$

Prostorový úhel je veličinou skalární.

Značení a jednotky

• Symbol veličiny: $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr

Steradián je koherentní fyzikální jednotka prostorového úhlu. Jeden steradián je prostorový úhel, který vymezuje ze středu kulové plochy na jejím povrchu plochu o obsahu rovném kvadrátu jejího poloměru.^[8] (Definice je obecná, aniž by specifikovala tvar vymezené plochy.) Podobně jako radián, je steradián v současné podobě SI považován za odvozenou bezrozměrnou jednotku, přičemž dříve (do r. 1995) byl řazen do tzv. doplňkových jednotek s vlastním rozměrem.

• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je číselně roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou sféru, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$, přímý prostorový úhel (poloprostor) pak poloviční, tedy $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru $r$ element plochy $dS$, jehož polohový vektor je $r^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$, pak pro element prostorového úhlu platí

$d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{R\cdot <!--\; \cdot \; -->dS}{R^3}$,

kde $R=r-<!--\; -\; -->r^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$, $R$ je velikost tohoto vektoru a $dS=ndS$, přičemž $n$ je normála plochy v bodě $r^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$.

Poznámky

Reference

Související články

• Úhel
• Steradián

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu prostorový úhel na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.