Trigonometrie

Trigonometrie (z řeckého trigónon, trojúhelník a metrein, měřit) je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících. Trigonometrie se dělí na trigonometrii rovinnou a na trigonometrii sférickou (trigonometrie útvarů na kulové ploše). Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech. V angličtině se trigonometrie a goniometrie souhrnně označuje jako trigonometry.

Historie trigonometrie

První poznatky z trigonometrie lze prokázat již u Egypťanů. Podobné znalosti měli také Babyloňané a Chaldejci, od kterých převzali Řekové dnešní dělení plného úhlu na 360° a stupně na 60 minut. První práce o trigonometrii souvisely s problémem určení délky tětivy vzhledem k velikosti úhlu. První tabulky délek tětiv pocházejí od řeckého matematika Hipparcha z roku 140 př. n. l., další tabulky sepsal zhruba o 40 let později Melenaus, řecký matematik žijící v Římě. Práce starořeckých vědců vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Megale syntaxis (Velká soustava), v níž Ptolemaios vypočítal tabulku délek tětiv kružnice, jež měla poloměr až 60 délkových jednotek a kde středový úhel, k němuž se délky vztahovaly, postupoval po 0,5°.

Od 5. století začali pak trigonometrii budovat Indové, od kterých pochází dnešní název pro sinus, a po nich vědci Střední Asie a Arabové. Z Indů se trigonometrii nejvíce věnoval Brahmagupta (7. století), z vědců Střední Asie a Arábie je pak třeba vzpomenout syrského astronoma al-Battáního.

Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji trigonometrie významně přispěl polský astronom Mikuláš Koperník, stejně tak i francouzský matematik François Viète, který představil kosinovou větu v trigonometrické podobě. Dnešní podobu trigonometrie jakožto vědu o goniometrických funkcích ve svém díle Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy) vytvořil Leonhard Euler. Poprvé zkoumal hodnoty sin x, cos x jako čísla, nikoli jako úsečky, a jako hodnoty proměnné připouštěl kladná i záporná čísla.

Trigonometrické věty a vzorce

• Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$.

• Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$a^2=b^2+c^2-<!--\; -\; -->2bc\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

• Tangentová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b}=\frac{tg\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{tg\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}=\frac{tg\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{cotg\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}}$

• Pro obsah každého trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, β, γ a se stranami a, b, c platí:

$S=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\right)=\frac{1}{2}ac\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right)=\frac{1}{2}bc\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)$

• Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC platí:

$r=\frac{a}{2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{b}{2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{c}{2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$

Související články

• Goniometrie
• Goniometrická funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu trigonometrie na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo trigonometrie ve Wikislovníku
• Učebnice goniometrie a trigonometrie
• Historie trigonometrie Archivováno 21. 5. 2006 na Wayback Machine.
• Sférická trigonometrie v kartografii a astronomii^{[nedostupný zdroj]} – ve formátu DOC (244 kB)

Autoritní data	NKC: ph126744 BNF: cb119384742 (data) LCCN: sh85137519 NDL: 00570153 NLI: 987007548881205171