Řetízkové pravidlo

Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo (anglicky chain rule) neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné.

Věta

Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x₀; nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y₀ = g(x₀). Potom má funkce f(g(x)) v bodě x₀ derivaci f'(g(x))g'(x).^[1]

Teorie

• $F\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right).$

potom:

• $\frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dg}{dx}$.

Tedy vlastně:

• $\frac{dF}{dx}\left(x\right)=\frac{df}{dg}\left(g\right(x\left)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dg}{dx}\left(x\right)$ – v případě jedné závislé.

Příklad 1

Zderivujte f(x,y) využitím řetízkového pravidla. 'x' si zavedeme jako závislou proměnou 't', tedy 'x(t)', totéž uděláme u 'y', tedy 'y(t,φ)'. Pokračujeme zápisem samotné funkce:

• $F(t,q)=f\left(x\right(t),y(t,q\left)\right).$

A derivace z toho tedy musí být:

• $\frac{dF}{dt}(t,q)=\frac{df}{dx}\left(x\right(t),y(t,q\left)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dx}{dt}\left(t\right)+\frac{df}{dy}\left(x\right(t),y(t,q\left)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dy}{dt}(t,q)$

Příklad 2

Zderivujte:

• $F\left(x\right)=\frac{(x+4{)}^3}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^3}.$

Celé zadání příkladu si lze představit jako:

• $F\left(x\right)=u^3$, tedy $u=\frac{(x+4)}{(x-<!--\; -\; -->1)}.$ Podle řetízkového pravidla potom výsledek bude:
• $F^{\prime }\left(x\right)=3\cdot <!--\; \cdot \; -->u^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->u^2$, což je:

• $F^{\prime }\left(x\right)=3\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{-<!--\; -\; -->5}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{(x+4{)}^2}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^2}$, což lze převést do základního tvaru:
• $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{(-<!--\; -\; -->15x^2-<!--\; -\; -->120x-<!--\; -\; -->240)}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^4}$.

Z druhého příkladu je krásně vidět, že standardní postup by byl velmi výpočtově náročný. Proto je užití řetízkového pravidla v takových případech velmi výhodné. Řetízkové pravidlo se samozřejmě nezastaví jen u jedné proměnné, lze ho například použít k transformaci parciálních derivací do cylindrických či polárních souřadnic aj.

Odkazy

Reference

Přednášky z předmětu Matematika a fyzika pro techniky (MFT): Mgr. Jan Březina, Ph.D., TUL.

Související články

• Derivace
• Matematická analýza
• Limita
• Integrál
• Parciální derivace
• Diferenciál
• Diferenciální rovnice
• Diference
• Průběh funkce

Autoritní data	GND: 4163699-5