Šestiúhelníkové číslo

Šestiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající šestiúhelníku. Konkrétně je šestiúhelníkové číslo rovno počtu bodů, ze kterých lze sestavit pravidelný šestiúhelník dle obrázku.

Vzorec pro $n$-té šestiúhelníkové číslo $h_n$ je

$h_n=2n^2-<!--\; -\; -->n=n(2n-<!--\; -\; -->1)=\frac{2n\times <!--\; \times \; -->(2n-<!--\; -\; -->1)}{2}.$

Několik prvních šestiúhelníkových čísel je 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, atd. (Posloupnost A000384 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.)

Každé šestiúhelníkové číslo je zároveň trojúhelníkové číslo, ale jenom každé druhé trojúhelníkové číslo je šestiúhelníkové. Stejně jako u trojúhelníkových čísel, může být ciferace šestiúhelníkového čísla (v desítkové soustavě) pouze 1, 3, 6 nebo 9, a to v pořadí 1, 6, 6, 1, 9, 3, 1, 3, 9, atd.

Všechna sudá dokonalá čísla jsou šestiúhelníková. Jsou dána vzorcem

$M_p{2}^{p-<!--\; -\; -->1}=M_p(M_p+1)/2=h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-<!--\; -\; -->1}},$

kde $M_p$ je Mersennovo prvočíslo. Např. druhé šestiúhelníkové číslo je $2\cdot <!--\; \cdot \; -->3=6$, čtvrté je $4\cdot <!--\; \cdot \; -->7=28$, šestnácté je $16\cdot <!--\; \cdot \; -->31=496$ a šedesátéčtvrté je $64\cdot <!--\; \cdot \; -->127=8128$. Protože nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla, tak jsou všechna známá dokonalá čísla šestiúhelníková.

Největší přirozené číslo, které nelze zapsat jako součet nejvýše čtyř šestiúhelníkových čísel, je 130. Adrien-Marie Legendre v roce 1830 dokázal, že se takto dají vyjádřit všechna přirozená čísla větší než 1 791.

Test šestiúhelníkovosti čísel

Zda je přirozené číslo $x$ šestiúhelníkové, lze snadno zjistit vypočítáním hodnoty následujícího výrazu

$n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.$

Pokud je $n$ celé číslo, $x$ je šestiúhelníkové číslo, jinak $x$ šestiúhelníkovým číslem není.

Ostatní vlastnosti

Alternativně lze $n$-té šestiúhelníkové číslo vyjádřit jako součet

$h_n=\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(4i+1).$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hexagonal number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu šestiúhelníkové číslo na Wikimedia Commons