Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je jedním ze spojitých pravděpodobnostních rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce, Lorentzova křivka nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

Charakteristika

Hustota pravděpodobnosti

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro a $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

$f\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(1+x^2)}.$

Vlastnosti

• modus i medián C. rozdělení se rovnají a.
• Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl.
• Pokud X₁, …, X_n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se standardním Cauchyovým rozdělením, pak jejich aritmetický průměr (X₁ + … + X_n)/n má opět standardní Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkce

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_X(t;a,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=E\left(e^{iXt}\right)=\exp <!--\; \; -->(iat-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|t|)$.

Související rozdělení

• Pokud má náhodná veličina U standardní rovnoměrné rozdělení, má n. v. $X=cotg\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}U\right)$ standardní Cauchyho rozdělení.

• Standardní Cauchyho rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

• Pokud U a V jsou dvě nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tak jejich podíl U/V má standardní Cauchyho rozdělení.

Relativistické Breit-Wignerovo rozdělení

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky II.. Prometheus, Praha, 2003, 6. přepracované vydání. ISBN 80-85849-62-3

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cauchyho rozdělení na Wikimedia Commons

anglicky

• Cauchyho rozdělení na MathWorldu.
• GNU Scientific Library - Reference Manual
• Online kalkulátor- Cauchyho rozdělení

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.