Kirnbergerovo ladění

Kirnbergerovo ladění (zkráceně Kirnberger) je nerovnoměrně temperované ladění, které na konci 18. století zkonstruoval německý hudební teoretik a skladatel Johann Philipp Kirnberger.

V Kirnbergerově době se používalo mnoho různých druhů ladění: středotónové (takto byly laděny zvláště varhany), velký počet různých druhů nerovnoměrně temperovaných ladění a prosazovat se začalo i rovnoměrně temperované ladění. V porovnání s ostatními nerovnoměrnými temperaturami se Kirnbergerovo ladění vyznačovalo relativně jednoduchou stavbou a silnou orientací na čisté intervaly. Kirnberger vytvořil tři typy ladění, dnes označovaná jako Kirnberger I (r. 1766), II (r. 1771) a III (r. 1779).

• Kirnberger I: V tomto ladění jsou čtyři velké tercie čisté, ostatní tercie ale zní velmi disotantně a jsou přítomné i čtyři příliš široké pythagorejské velké tercie. Také kvinta D – A zní velice disonantně.
• Kirnberger II: V tomto ladění již zní kvinta D – A přijatelněji, ale na úkor snížení počtu čistých velkých tercií na tři. Pythagorejské velké tercie zůstávají čtyři, hodnoty ostatních velkých tercií se v porovnání s Kirnberger I přiblížily čistým velkým terciím.
• Kirnberger III: Všechny kvinty již znějí přijatelně, zůstala ale jen jedna čistá velká tercie, počet pythagorejských velkých tercií se omezil na dvě.

Kirnberger I

V tomto ladění se pythagorejské koma rozdělí mezi kvinty D – A (11/12 pythagorejského komatu) a F# – C# (1/12 pythagorejského komatu). Všechny ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy		Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F# – C#	$\frac{3}{2}:\sqrt[12]{\frac{3^{12}}{2^{19}}}$	kvinta zmenšená o 1/12 pythagorejského komatu	700,000
G – D	$3:2$	čistá kvinta	701,955		C# – G#(Ab)	$3:2$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:\sqrt[12]{{\left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)}^{11}}$	kvinta zmenšená o 11/12 pythagorejského komatu	680,450		G#(Ab) – Eb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
A – E	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Eb – Bb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
E – H	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Bb – F	$3:2$	čistá kvinta	701,955
H – F#	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F – C	$3:2$	čistá kvinta	701,955

Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1}=1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\sqrt[12]{{\left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)}^{11}}=\frac{2^{13}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^8}$	1,6666667899	884,36	velká sexta
E	$\frac{2^{12}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^7}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{2^{11}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^7}$	1,250000924	386,31	velká tercie
H	$\frac{2^{10}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^6}$	1,875001386	1088,27	velká septima
F#	$\frac{2^9\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{2^8\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^5}$	1,40625104	590,23	zvětšená kvarta
C#	$\frac{2^7\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[12]{2^5}}{3^4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}:\sqrt[12]{\frac{3^{12}}{2^{19}}}=\frac{2^8}{3^5}=\frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

• Čtyři téměř čisté velké tercie (386,314 centů; tyto tercie jsou přibližně o 0,00128 centů širší než čisté): C-E, G-H, D-F#, F-A
• Čtyři tercie blížící se pythagorejským velkým terciím (405,866 centů; tyto tercie jsou přibližně o 1,955 centů užší než pythagorejské), znějí disonantně: A-C#, E-G#, H-Eb, F#-Bb
• Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, G#-C, Eb-G, Bb-D
• Příliš úzká kvinta D-A (680,45 centů)

Kirnberger I s racionálními čísly

Jak již bylo řečeno, v ladění Kirnberger I se pythagorejské koma rozdělí mezi kvinty D – A (11/12 pythagorejského komatu) a F# – C# (1/12 pythagorejského komatu). Jelikož rozdíl mezi 11/12 pythagorejského komatu a syntonickým komatem je velmi malý (asi 0,00128 centů) a rozdíl mezi 1/12 pythagorejského komatu a schismatem je také velmi malý (též asi 0,00128 centů), lze ladění Kirnberger I také zapsat tak, že kvinta D - A se zmenší o syntonické koma a kvinta F# - C# se zmenší o schisma. Toto ladění pak má tu výhodu, že se v něm objevují jen racionální čísla (dá se tedy řadit i mezi čistá ladění). Tato dva typy ladění (Kirnberger I s iracionálními čísly a Kirnberger I s racionálními čísly) nelze sluchem rozeznat.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy		Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F# – C#	$\frac{3}{2}:\frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	$3:2$	čistá kvinta	701,955		C# – G#(Ab)	$3:2$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:\frac{81}{80}$	kvinta zmenšená o syntonické koma	680,449		G#(Ab) – Eb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
A – E	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Eb – Bb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
E – H	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Bb – F	$3:2$	čistá kvinta	701,955
H – F#	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F – C	$3:2$	čistá kvinta	701,955

Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1}=1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\frac{81}{80}=\frac{5}{3}$	1,666666667	884,36	velká sexta
E	$\frac{5}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{135}{64}:\frac{32805}{32768}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

• Čtyři čisté velké tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E, G-H, D-F#, F-A
• Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C, Eb-G, Bb-D
• Čtyři tercie blížící se pythagorejským velkým terciím (405,866 centů; tyto tercie jsou přibližně o 1,955 centů užší než pythagorejské), znějí disonantně: A-C#, E-G#, H-Eb, F#-Bb
• Příliš úzká kvinta D-A (680,449 centů)

Může nás překvapit, že porovnáme-li si toto ladění s laděním Parejovým, které bylo popsáno o tři století dříve (1482), není tu prakticky žádný rozdíl. Jediný rozdíl je v tom, že zatímco Pareja má o syntonické koma zúženou kvintu G-D, Kirnberger I ji má posunutou mezi tóny D-A. Druhý, prakticky nepodstatný rozdíl je v tom, že zatímco rovnoměrně temperovaná kvinta leží u Pareji mezi tóny Cis-Gis, Kirnberger I ji má posunutou mezi tóny Fis-Cis.

Je zajímavé, že i když Kirnberger (který byl krátký čas i žákem J. S. Bacha) znal kromě středotónového ladění i rovnoměrnou temperaturu , byl si dobře vědom i jejích nedostatků a proto se ve svém hledání té nejlepší temperatury vrací ke starým osvědčeným schématům, odvozeným z čistých kvint pythagorejského ladění.

Kirnberger II

V tomto ladění se rozdělí syntonické koma mezi kvinty D – A a A – E (každá se zmenší o polovinu syntonického komatu), kvinta F# – C# se zmenší o schisma (pythagorejské koma = syntonické koma + schisma). Všechny ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy		Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F# – C#	$\frac{3}{2}:\frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	$3:2$	čistá kvinta	701,955		C# – G#(Ab)	$3:2$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:\sqrt{\frac{81}{80}}$	kvinta zmenšená o polovinu syntonického komatu	691,202		G#(Ab) – Eb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
A – E	$\frac{3}{2}:\sqrt{\frac{81}{80}}$	kvinta zmenšená o polovinu syntonického komatu	691,202		Eb – Bb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
E – H	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Bb – F	$3:2$	čistá kvinta	701,955
H – F#	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F – C	$3:2$	čistá kvinta	701,955

Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1}=1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\sqrt{\frac{81}{80}}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$	1,677050983	895,11	velká sexta
E	$\left(\frac{81}{32}:\frac{81}{80}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{45}{32}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{3:2}{32805:32768}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

• Tři čisté velké tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E, G-H, D-F#
• Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C, Eb-G, Bb-D
• Zbývající velké tercie jsou širší než čisté: A-C# (395,113 centů), E-G#, H-Eb, F#-Bb (405,866 centů), F-A (397,067 centů)

Kirnberger III

V tomto ladění se syntonické koma rozdělí mezi kvinty C – G, G – D, D – A a A – E (tyto kvinty se tedy počítají stejně jako ve středotónovém ladění). Kvinta F# – C# je zmenšená o schisma, zbývající kvinty jsou čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy		Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	$\frac{3}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578		F# – C#	$\frac{3}{2}:\frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	$\frac{3}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578		C# – G#(Ab)	$3:2$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578		G#(Ab) – Eb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
A – E	$\frac{3}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578		Eb – Bb	$3:2$	čistá kvinta	701,955
E – H	$3:2$	čistá kvinta	701,955		Bb – F	$3:2$	čistá kvinta	701,955
H – F#	$3:2$	čistá kvinta	701,955		F – C	$3:2$	čistá kvinta	701,955

Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{1}=\frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1}=1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{5}$	1,49534878122	696,58	kvinta
D	$\frac{9}{4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{2}{4}}=\sqrt{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}$	1,11803398875	193,16	velká sekunda
A	$\frac{27}{8}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}:{\left(\frac{81}{80}\right)}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{5^3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}$	1,67185076244	889,74	velká sexta
E	$\frac{81}{16}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{4}:\frac{81}{80}=\frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{135}{64}:\frac{32805}{32768}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}=\frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

• Jedna čistá velká tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E
• Dvě pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C
• Zbývající velké tercie jsou širší než čisté: G-H, F-A (391,691 centů), D-F# (395,113 centů), A-C# (400,489 centů), E-G#, H-Eb, F#-Bb (405,866 centů), Eb-G (402,444 centů) a Bb-D (397, 067 centů)

Externí odkazy

• Popis ladění Kirnberger I (v němčině)
• Popis ladění Kirnberger II (v němčině)
• Popis ladění Kirnberger III (v němčině)
• Popis ladění Kirnberger III na encyklopedii Tonalsoft (v angličtině)

Reference

1. KIRNBERGER, Johann Philipp. Clavieruebungen mit der Bachisten Applicatur, in einer Folge von den leichtesten bis zu den schwersten Stuecken, vierte Sammlung. Berlin: [s.n.], 1766. 
2. KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 1. Teil. Berlin: [s.n.], 1771. 
3. KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 1. Teil. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1774. 
4. KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1776. 
5. KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1777. 
6. KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1779.