Lippmannova–Schwingerova rovnice

Lippmannova-Schwingerova rovnice je kvantově mechanická rovnice hojně užívaná v teorii rozptylu. Jedná se o integrální rovnici, která je často řešena iterační metodou což vede na Bornovu řadu.

V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar

$|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=|p⟩<!--\; ⟩\; -->+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_I|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$,

kde $|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$ označuje retardované a advancované řešení rovnice, ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_I$ interační hamiltonián a ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right)$ retardovaný, resp. avansovaný, Greenův operátor bezčasové Schrödingerovy rovnice pro volnou částici. Můžeme jej vyjádřit takto

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right)=\frac{1}{E-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0\pm <!--\; \pm \; -->i\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$.

Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=E|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$

Platí dokonce normovací podmínka

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{\pm <!--\; \pm \; -->}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{p^{\prime }}^{\pm <!--\; \pm \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p-<!--\; -\; -->p^{\prime })$.

Přitom pro celkový hamiltonián $H$ platí

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_I$,

kde $H_0$ je hamiltonián volné částice, tedy nerelativisticky

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0=\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}^2}{2m}$.

Platí také $E=\frac{p^2}{2m}$, protože se energie částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.

Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna $|p⟩<!--\; ⟩\; -->$ a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.

V třírozměrném prostoru je Greenův operátor ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right)$ v x-reprezentaci dán výrazem

$G_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right)(x,x^{\prime })=⟨<!--\; ⟨\; -->x|{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}_0^{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(E\right)|x^{\prime }⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{\exp <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->ik|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }|)}{|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }|}$

Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{+}(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{ip\cdot <!--\; \cdot \; -->x}-<!--\; -\; -->\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\int <!--\; \int \; -->d^3{x}^{\prime }\frac{\exp <!--\; \; -->(ik|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }|)}{|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }|}V(x^{\prime }\left){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{+}\right(x^{\prime })$,

kde

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{+}(x)=⟨<!--\; ⟨\; -->x|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_p^{+}⟩<!--\; ⟩\; -->$

a

$k=\frac{1}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}p$.

Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.

Metody řešení

Z matematického pohledu je Lippmannova-Schwingerova v souřadnicové reprezentaci integrální rovnicí Fredholmova typu. Lze ji řešit pomocí diskretizace integrálu, což ji převede na soustavu lineárních rovnic. Další možností je využít ekvivalence Lippman-Schwingerovy rovnice se Schrödingerovou rovnicí a řešit místo integrální tuto diferenciální rovnici se správnou okrajovou podnínkou. V případě sféricky symetrického potenciálu $V$ se rovnice většinou řeší metodou parciálních vln. Pro vysoké srážkové energie nebo slabé potenciály lze rovnici řešit poruchovým rozvojem (Bornova řada). Zobecnění Lippman Schwingerovy rovnice pro mnohočásticové srážky, například v jaderné či molekulové fyzice se obvykle řeší pomocí metody R-matice navržené Wignerem a Eisenbudem. Další třída metod vychází ze separabilního rozkladu potenciálu nebo Greenova operátoru jako je metoda řetězových zlomků Horáčka a Sasakawy. Důležitá třída metod je založena na variačních principech, například ze Schwingerova variačního principu vychází Schwinger-Lanczosova metoda, která kombinuje variační princip Juliana Schwingera a Lanczosův algoritmus.