Ortogonální souřadnice

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic $q$, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti $d{s}^2$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

$d{s}^2=\underset{k=1}{\overset{D}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(h_{k}d{q}_k\right)}^2$,

kde $D$ je dimenze prostoru a funkce $h_k\left(q\right)\stackrel{def}{=}\sqrt{g_{kk}\left(q\right)}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru $g_{ik}\left(q\right)$.

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice $d{q}_m$ jako $d{s}_m=h_{k}d{q}_k$. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru $r$ jako

$dr=\underset{k=1}{\overset{D}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_{k}d{q}_k{e}_k$,

kde $e_k$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic $q_k$. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=\underset{k=1}{\overset{D}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_k{B}_k$

Tedy např. integrál po křivce $C$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

${\int <!--\; \int \; -->}_{C}F\cdot <!--\; \cdot \; -->dr=\underset{k=1}{\overset{D}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_C{F}_k{h}_{k}d{q}_k$,

kde $F_k$ je složka vektoru $F$ ve směru $k$-tého jednotkového vektoru $e_k$

$F_k\stackrel{def}{=}{e}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->F$

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát $dP=d{s}_{i}d{s}_j=h_i{h}_{j}d{q}_{i}d{q}_j$, kde $i\ne <!--\; \ne \; -->j$, a pro infinitezimální element objemu $dV=d{s}_{i}d{s}_{j}d{s}_k=hd{q}_{i}d{q}_{j}d{q}_k$, kde $h\stackrel{def}{=}{h}_i{h}_j{h}_k$ a $i\ne <!--\; \ne \; -->j\ne <!--\; \ne \; -->k$. Např. integrál přes plochu $S$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

${\int <!--\; \int \; -->}_{S}F\cdot <!--\; \cdot \; -->dS={\int <!--\; \int \; -->}_S{F}_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{2}d{q}_3+{\int <!--\; \int \; -->}_S{F}_2{h}_3{h}_{1}d{q}_{3}d{q}_1+{\int <!--\; \int \; -->}_S{F}_3{h}_1{h}_{2}d{q}_{1}d{q}_2$

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\frac{e_1}{h_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}+\frac{e_2}{h_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}+\frac{e_3}{h_3}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}$

Laplaceův operátor má tvar

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}\left(\frac{h_3{h}_1}{h_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}\right)\right]$

Operátor divergence se zapíše jako

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->F=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\left(F_1{h}_2{h}_3\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}\left(F_2{h}_3{h}_1\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}\left(F_3{h}_1{h}_2\right)\right]$

kde $F_k$ je $k$-tá složka vektoru $F$.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->F=\frac{e_1}{h_2{h}_3}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}\left(h_3{F}_3\right)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}\left(h_2{F}_2\right)\right]+\frac{e_2}{h_3{h}_1}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}\left(h_1{F}_1\right)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\left(h_3{F}_3\right)\right]+\frac{e_3}{h_1{h}_2}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\left(h_2{F}_2\right)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}\left(h_1{F}_1\right)\right]$

Příklady

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Polární soustava souřadnic
• Eliptická soustava souřadnic
• Parabolická soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Bipolární soustava souřadnic

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (třírozměrná)
• Sférická soustava souřadnic
• Válcová soustava souřadnic
• Eliptická válcová soustava souřadnic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Ortogonální souřadnice na Wikimedia Commons
• Článek o ortogonálních souřadnicích na MathWorld (anglicky)

soustavy souřadnic
typy soustav	kartézská • ortogonální • afinní • zobecněná
rovinné soustavy (2D)	polární • bipolární • biangulární
prostorové soustavy (3D)	sférická • válcová
vícerozměrné soustavy (4D+)	hypersférická