Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník ABCD nazýváme tětivovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když existuje kružnice, která prochází body A, B, C, D. Jeho strany jsou tedy tětivami kružnice, čtyřúhelníku opsané.

Definice

Součet velikostí protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Nechť |∠ABC| = β, |∠ADC| = δ a ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde |∠ASC| = 2β, |∠ASB| = 2δ, platí 2β + 2δ = 360°. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být tedy rovněž 180°. Jestliže platí β + δ = 180°, pak sestrojíme-li kružnici k opsanou trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 ⋅ (β + δ) = 360°.^[1]

Příklady

Tětivové čtyřúhelníky jsou například čtverec, obdélník a rovnoramenný lichoběžník.

Vlastnosti

Pro rozměry tětivového čtyřúhelníku platí Ptolemaiova věta: Součin (délek) úhlopříček ve čtyřúhelníku je roven součtu součinů (délek) jeho protějších stran.

$ef=ac+bd$

Pro obsah tětivového čtyřúhelníku platí Brahmaguptův vzorec:

$S=\sqrt{(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b)(s-<!--\; -\; -->c)(s-<!--\; -\; -->d)},$

kde $s=(a+b+c+d)/2$ je jeho poloviční obvod.

Z něj lze dostat jako limitní případ, kdy se jedna ze stran rovná nule (např. d), Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka,

$S=\sqrt{s(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b)(s-<!--\; -\; -->c)}$.

Reference

Související články

• Čtyřúhelník
• Tečnový čtyřúhelník
• Dvojstředový čtyřúhelník
• Heronův vzorec

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tětivový čtyřúhelník na Wikimedia Commons