Čtyřúhelník

Čtyřúhelník (cizím slovem tetragon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Definice

Lze jej definovat více způsoby. Zde jsou dvě definice čtyřúhelníku:

• Definice1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
• Definice2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Základní pojmy

Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní.

konvexní útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U.

konvexní

nekonvexní útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí, že úsečka XY není podmnožinou útvaru U.

nekonvexní

Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0° a menší než 180°, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180° a menší než 360°.

Dále se budeme zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky a slovo konvexní budeme vynechávat. Standardní označení stran a úhlů v konvexním čtyřúhelníku.

Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku.

• Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
• Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD.  Úhly ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC, ∠BAD náleží vnitřní oblasti čtyřúhelníku, nazýváme je vnitřními úhly.

Dvojice úhlů ∠ABC, ∠BCD; ∠BCD, ∠ADC; ∠ADC, ∠BAD; ∠BAD, ∠ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ∠ABC, ∠ADC a ∠BCD, ∠BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD.

Obvyklé značení pro délky stran je |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |AD| = d; délky úhlopříček |AC| = e = $u_1$, |BD|= f = $u_2$ a pro velikosti úhlů: |∠BAD| = α,

|∠ABC| = β,|∠BCD| = γ, |∠ADC| = δ.^[1]

Klasifikace čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby - například podle rovnoběžnosti stran

• rovnoběžník
• lichoběžník
• různoběžník

Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné v každé z obou dvojic.

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné pouze v jedné z obou dvojic; tyto strany se pak nazývají základny.

Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.

Další speciální případy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje:

• Tětivový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici.
• Tečnový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici.
• Dvojstředový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, je tedy současně tětivovým i tečnovým čtyřúhelníkem.
• Deltoid ("drak") je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, přičemž jedna z nich (hlavní úhlopříčka) půlí druhou (vedlejší úhlopříčku). Každý deltoid je současně tečnový čtyřúhelník.

Obvod a obsah

Obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech stran. O = a + b + c + d.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

$S=\sqrt{(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b)(s-<!--\; -\; -->c)(s-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->abcd\cdot <!--\; \cdot \; -->{\cos }^2<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}\right)},$

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníku, s je jeho poloviční obvod; α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Obsah je také možno vypočítat rozdělením čtyřúhelníku na dva trojúhelníky:

$S=\frac{1}{2}(ab\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+cd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=\frac{1}{2}(ad\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+bc\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})$

Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků, z nichž aspoň 2 musí mít rozměr délky. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.

Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti (symetrie), pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, u čtverce 1 prvek).

Reference

Související články

• Geometrický útvar

Externí odkazy

• Slovníkové heslo čtyrúhelník ve Wikislovníku
• Obrázky, zvuky či videa k tématu čtyřúhelník na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

Autoritní data	LNB: 000321921