Diagonalizovatelná matice: Porovnání verzí

V lineární algebře se čtvercové matici $A$ říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici $D$, tzn. pokud existuje taková regulární matice $R$, pro kterou by platilo $A=R^{-<!--\; -\; -->1}DR$. Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus $T:V\to <!--\; \to \; -->V$ nad vektorovým prostorem $V$, pokud existuje báze $V$ (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je $T$ reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné ($A=R^{-<!--\; -\; -->1}DR$), ale kongruentní ($A=R^{T}DR$). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je $R$ ortogonální a platí $R^T=R^{-<!--\; -\; -->1}⟹<!--\; ⟹\; -->R^{-<!--\; -\; -->1}AR=R^{T}AR$. Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.^[1]

Podmínka diagonalizovatelnosti

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$, které pro nějaký vektor $v$ splňuje $Av=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E)v=0$.

Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$, hodnota $\dim <!--\; \; -->Ker(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$.

Polynom $p_A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E)$ se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť $A$je čtvercová matice a ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k$její vlastní čísla. $A$je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$ rovna jeho geometrické násobnosti.^[1]

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru

Hledání diagonálního tvaru $D$ a matice přechodu $R$ lze shrnout do několika kroků:

1. Vyjáříme si charakteristický polynom $det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E)$, najdeme jeho kořeny ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k$ a poznamenáme si jejich násobnost.
2. Matice $D$bude mít tvar $D=diag({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k)$, každé ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
3. Pro každé ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$najdeme jádro matice $(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E)$. Následně nalezneme bázi tohoto jádra $(v_{i,1},...,v_{i,m})$, $m$je násobnost ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$.
4. Sloupce matice $R$budou tvořeny vektory $(v_{1,1}|v_{1,2}|...|v_{1,m}|v_{2,1}|...|v_{k,n})$.
5. Nalezneme inverzní matici $R^{-<!--\; -\; -->1}$.
6. Platí $A=RD{R}^{-<!--\; -\; -->1}$, $D=R^{-<!--\; -\; -->1}AR$.

Příklad

Uvažujme matici:

Charakteristický polynom matice je:

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1=3,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2=2,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_3=1.$

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

Nyní nalezneme ke každému ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$ vlastní vektory. Jsou to:

$v_1=\left(\begin{array}{c}-<!--\; -\; -->1\\ -<!--\; -\; -->1\\ 2\end{array}\right)\in <!--\; \in \; -->Ker(A-<!--\; -\; -->3E),$

$v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\in <!--\; \in \; -->Ker(A-<!--\; -\; -->2E),$

$v_3=\left(\begin{array}{c}-<!--\; -\; -->1\\ 0\\ 2\end{array}\right)\in <!--\; \in \; -->Ker(A-<!--\; -\; -->E).$

Jednoduchou kontrolou je: $A{v}_k={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k{v}_k$

Matici $R$získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v $D$.

Nakonec k $R$ najdeme inverzi:

Přímým výpočtem lze ověřit, že $R^{-<!--\; -\; -->1}AR=D$:

Současná diagonalizovatelnost

Matice $A,B$ se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové $R$, že jak $R^{-<!--\; -\; -->1}AR$, tak $R^{-<!--\; -\; -->1}BR$ jsou diagonální. Obdobně endomorfismy $S,T$ jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť $V$ je vektorový prostor a $M$ množina diagonalizovatelných endomorfismů na $V$. Pak je $M$ současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.^[1]

Externí odkazy

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.