Axiom spočetného výběru

Axiom spočetného výběru (zkráceně ($A{C}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$)) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.

Znění

Axiom spočetného výběru lze vyslovit v kterékoli z běžně používaných axiomatizací teorie množin (ZF, NBG či KM) a to například takto:

Na každém spočetném souboru neprázdných množin $\{A_i;i\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\}$ existuje selektor (tj. zobrazení $f:\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\cup <!--\; \cup \; -->}_{i\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{A}_i$ takové, že $f\left(i\right)\in <!--\; \in \; -->A_i$ pro všechna $i\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$).

Význam

Axiom spočetného výběru je dostatečně silné tvrzení na to, aby pomocí něj bylo možno dokázat většinu základních poznatků matematické analýzy, které nějakou formu axiomu výběru potřebují. Takovými poznatky jsou například:

• sjednocení spočetného souboru spočetných množin je spočetná množina
• Heineho věta

Vztah k jiným tvrzením

Axiom spočetného výběru vyplývá z (obyčejného) axiomu výběru. Je dokonce důsledkem ještě slabšího tvrzení zvaného axiom závislého výběru. Opačné implikace neplatí, tj. axiom spočetného výběru je ostře slabší než axiom závislého výběru (a tedy než axiom výběru).

Nedokazatelnost axiomu spočetného výběru v ZF prokázal Paul Cohen.

Související články

• axiom závislého výběru
• axiom výběru
• axiom úplného výběru
• axiom silného výběru

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine