Nekonečná množina

Nekonečná množina je matematický pojem z oboru teorie množin.

Definice

V teorii množin je jako nekonečná množina označována taková množina, která není konečná.
Za konečné jsou přitom označovány ty množiny, které nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějakou jejich vlastní podmnožinu.

Příklady

Příkladem nekonečné množiny je množina přirozených čísel, neboť každému číslu $n$ lze jednoznačně přiřadit sudé číslo $2n$, které je také přirozeným číslem. Mohli bychom také říci, že celá množina je stejně velká jako její část.
Existenci této množiny zajišťuje axiom nekonečna.

Množina přirozených čísel je v jistém smyslu „nejmenší“ mezi nekonečnými množinami – každá její podmnožina je buď konečná, anebo stejně velká (ve smyslu vzájemně jednoznačného zobrazení) jako celá množina přirozených čísel. Nekonečné množiny se podle toho, zda je lze vzájemně jednoznačně zobrazit na výše uvedenou množinu přirozených čísel, dále dělí na spočetné a nespočetné.

• množina všech celých čísel je spočetná – lze jí vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu přirozených čísel, pokud si celá čísla seřadíme tímto způsobem: $\{0,1,-<!--\; -\; -->1,2,-<!--\; -\; -->2,3,\dots <!--\; \dots \; -->\}$
• množina všech reálných čísel je nespočetná – pomocí Cantorovy diagonální metody lze dokázat, že neexistuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou přirozených a reálných čísel
• množina všech přirozených čísel menších než čtyři (tedy 0,1,2,3) je konečná množina – jakýkoliv pokus zobrazit ji vzájemně jednoznačně na některou její vlastní podmnožinu je předem odsouzen k neúspěchu

Hierarchie nekonečných množin

Nabízí se otázka, kolik velikostí nekonečných množin existuje. Odpověď na tuto otázku se zásadně liší podle axiomatické soustavy teorie množin, pomocí které budeme hledat odpověď.

Z pohledu dnes nejrozšířenější Zermelo-Fraenkelovy teorie množin je nekonečen nekonečně mnoho. Podle Cantorovy věty totiž potenční množinu $P\left(X\right)$ nelze zobrazit na původní množinu $X$, takže

• množinu $P\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)$ všech podmnožin množiny přirozených čísel nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ všech přirozených čísel
• množinu $P\left(P\right(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left)\right)$ všech podmnožin množiny všech podmnožin množiny přirozených čísel nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu $P\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)$ všech podmnožin množiny přirozených čísel
• množinu $P\left(P\right(P\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)\left)\right)$ nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu $P\left(P\right(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left)\right)$
• $\dots <!--\; \dots \; -->$

Existují i jiné pohledy, které se naopak takto rozsáhlé hierarchii nekonečen brání – příkladem je konstruktivismus nebo Vopěnkova Alternativní teorie množin.

Související články

• Nekonečno
• Konečná množina
• Spočetná množina
• Nespočetná množina
• Ordinální číslo
• Mohutnost
• Kardinální číslo
• Funkce alef
• Cantorovo diskontinuum

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine