De Morganovy zákony

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

De Morganovy zákony určují vztah mezi sjednocením, průnikem a doplňkem množiny a další se zabývají matematickou logikou. Zákony se jmenují po Augustu De Morganovi (1806–1871).^[1]

Mějme množiny $A,B$ a ${}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ nechť označuje doplněk dané množiny.

Potom platí vztahy

${(A\cup <!--\; \cup \; -->B)}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->B^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$

${(A\cap <!--\; \cap \; -->B)}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\cup <!--\; \cup \; -->B^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$

Formální vztahy pro logické operace:

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}(p\vee <!--\; \vee \; -->q)⟺<!--\; ⟺\; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}p\right)\wedge <!--\; \wedge \; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}q\right)$

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}(p\wedge <!--\; \wedge \; -->q)⟺<!--\; ⟺\; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}p\right)\vee <!--\; \vee \; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}q\right)$

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}(A\vee <!--\; \vee \; -->B)⟺<!--\; ⟺\; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}A\right)\wedge <!--\; \wedge \; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}B\right)$

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}(A\wedge <!--\; \wedge \; -->B)⟺<!--\; ⟺\; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}A\right)\vee <!--\; \vee \; -->\left(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}B\right)$

kde:

• $\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}$ a A je negace (NOT)
• $\wedge <!--\; \wedge \; -->$ je konjunkce (AND)
• $\vee <!--\; \vee \; -->$ je disjunkce (OR)
• $⟺<!--\; ⟺\; -->$ je zde metalogický symbol, který znamená "lze v logickém důkazu nahradit".

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\cap <!--\; \cap \; -->B}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\cup <!--\; \cup \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\cup <!--\; \cup \; -->B}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}.$

De Morganovy zákony se uplatňují především v Booleově algebře.

Reference

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine