Symetrická diference

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B$

nebo

$A÷<!--\; ÷\; -->B$

nebo

$A\ominus <!--\; \ominus \; -->B.$

Například symetrická diference množin $\{1,2,3\}$ a $\{3,4\}$ je množina $\{1,2,4\}$. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina libovolné množiny s operací symetrické diference je abelovou grupou; neutrální prvek grupy je prázdná množina, a protože symetrická diference množiny se sebou samou je prázdná množina, tak každý prvek potenční množiny je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)$

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B=(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\setminus <!--\; \setminus \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->B)$

nebo pomocí operace XOR:

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B=\{x:(x\in <!--\; \in \; -->A)\oplus <!--\; \oplus \; -->(x\in <!--\; \in \; -->B\left)\right\}.$

Zvláště pak platí, že:

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\cup <!--\; \cup \; -->B.$

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B=B\mathrm{△<!--\; △\; -->}A,$

$\left(A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B\right)\mathrm{△<!--\; △\; -->}C=A\mathrm{△<!--\; △\; -->}\left(B\mathrm{△<!--\; △\; -->}C\right).$

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

$A\cap <!--\; \cap \; -->\left(B\mathrm{△<!--\; △\; -->}C\right)=(A\cap <!--\; \cap \; -->B)\mathrm{△<!--\; △\; -->}(A\cap <!--\; \cap \; -->C),$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu symetrická diference na Wikimedia Commons

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine