Hyperbolický tangens

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Hyperbolický tangens (tangens hyperbolicus) je hyperbolická funkce. Značí se $\tanh$, dříve $\mathrm{tgh}$.

Definice

Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu:

$\tanh <!--\; \; -->x=\frac{\sinh <!--\; \; -->x}{\cosh <!--\; \; -->x}=\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}=\frac{e^{2x}-<!--\; -\; -->1}{e^{2x}+1}=\frac{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->2x}}{1+e^{-<!--\; -\; -->2x}}$.

Definice platí i pro komplexní argument. Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze definovat jako

$\tanh <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\tan <!--\; \; -->ix$, kde $i$ je imaginární jednotka.

Vlastnosti

• $\tanh$ je rostoucí funkce

• Definiční obor funkce

$D(\tanh )=R$

• Obor hodnot funkce

$H(\tanh )=(-<!--\; -\; -->1,+1)$

• Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka

$\tanh <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\tanh <!--\; \; -->x.$

• Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:

$\tanh <!--\; \; -->(x+y)=\frac{\tanh <!--\; \; -->\left(x\right)+\tanh <!--\; \; -->\left(y\right)}{1+\tanh <!--\; \; -->\left(x\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\tanh <!--\; \; -->\left(y\right)}$

$\tanh <!--\; \; -->\left(2x\right)=\frac{2\tanh <!--\; \; -->\left(x\right)}{1+{\tanh }^2<!--\; \; -->\left(x\right)}$

$\tanh <!--\; \; -->\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh <!--\; \; -->(x)-<!--\; -\; -->1)}$

• Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens (artanh x):

$\text{artanh}\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+x}{1-<!--\; -\; -->x}\right)$, kde

• Derivace hyperbolického tangens:

$\frac{d}{dx}\tanh <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->{\tanh }^2<!--\; \; -->x={\mathrm{sech}}^2<!--\; \; -->x=1/{\cosh }^2<!--\; \; -->x$

• Neurčitý integrál:

$\int <!--\; \int \; -->\tanh <!--\; \; -->xdx=\ln <!--\; \; -->(\cosh <!--\; \; -->x)$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolický tangens na Wikimedia Commons