Tangens

Tangens je goniometrická funkce. Je to funkce transcendentní, nelze ji obecně vyčíslit pomocí konečného počtu elementárních operací.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka tan^[1] (v českých publikacích běžně též tg) doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

V pravoúhlém trojúhelníku (pro ostrý úhel) je tangens úhlu definován jako poměr délek protilehlé a přilehlé odvěsny. Definici lze konzistentně rozšířit jak na reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem tangenty v reálném oboru je transcendentní křivka tangentoida.

Tangens na jednotkové kružnici

Tangens se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li v průsečíku jednotkové kružnice s kladnou poloosou x vztyčena tečna k této kružnici (kolmá na osu x), je tg α rovna y-ové souřadnici průsečíku této tečny s přímkou koncového ramene úhlu α s počátečním ramenem v kladné poloose x (orientovaného od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), jinak řečeno, vzdálenost tohoto průsečíku od osy x se (v absolutní hodnotě) rovná tg α.

Z geometrické definice je také vidět, že tangens je v prvním a třetím kvadrantu nezáporná (≥ 0), ve druhém a čtvrtém nekladná (≤ 0) a pro úhly α = 90° a α = 270° (resp. π/2 a 3π/2 v obloukové míře) není definován, protože průsečík s tečnou neexistuje. V celém definičním oboru je tangens rostoucí funkcí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$ v úhlové míře resp. $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k\cdot <!--\; \cdot \; -->{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$ v míře stupňové, kde $k$ je celé číslo. Tangens lze tedy konzistentně definovat jako funkci v množině reálných čísel:

Tangens v reálném oboru

Funkce $y=\text{tg }x$, je definována jako $y=\text{tg }x=\frac{\sin <!--\; \; -->x}{\cos <!--\; \; -->x}$ a má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $R\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right\};k\in <!--\; \in \; -->Z$
• Obor hodnot: $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$, respektive $R$
• Rostoucí: v každém intervalu $\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->};\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right);k\in <!--\; \in \; -->Z$
• Derivace: $(tgx{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2<!--\; \; -->x}$
• Integrál: $\int <!--\; \int \; -->\text{tg }xdx=-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->|\cos <!--\; \; -->x|+C;$Integrační konstanta obecně jiná na každé komponentě definičního oboru.
• Inverzní funkce: arkus tangens (arctg)
• Tangens doplňkového úhlu: $\text{tg }(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->x)=\text{cotg }x$
• je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s nejmenší periodou $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$

Reference

Související články

• Goniometrie
• Tangentová věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tangens na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo tangens ve Wikislovníku