Kelleyova–Morseova teorie množin

Kelleyova–Morseova teorie množin (označovaná též KM) je pokusem o teorii množin silnějších vlastností než jsou klasické axiomatizace Zermelova-Fraenkelova (ZF) a Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova (NGB). V KM je dokazatelná (formální) konzistence ZF.

Historie

Základy této teorie položil ve své přednášce roku 1939 A. Morse, ale publikována byla až v pracích Johna L. Kelleyho General topology (1955) a opět A. Morsea A theory of sets (1965).

Axiomy

Axiomatizace KM je velmi podobná axiomatizaci GB, liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od GB) připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že KM je nesrovnatelně silnější teorií než GB i ZF. Teorie KM má následující axiomy, v nichž malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové proměnné) (tj. velká písmena zastupují libovolné objekty - třídy i množiny, kdežto malá pouze množiny):

• axiom definice množiny: $\left(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\right)(x=X)\iff <!--\; \iff \; -->\left(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}Y\right)(X\in <!--\; \in \; -->Y)$
• axiom existence množiny: $(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}X,Y)(X\in <!--\; \in \; -->Y)$
• axiom extenzionality pro třídy: $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}X,Y)(X=Y\iff <!--\; \iff \; -->(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}e\left)\right(e\in <!--\; \in \; -->X\iff <!--\; \iff \; -->e\in <!--\; \in \; -->Y)$
• schéma existence tříd: $\left(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}Z\right)\left(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}e\right)(e\in <!--\; \in \; -->Z\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})$ kde $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$ je libovolná formule jazyka teorie množin
• axiom dvojice: $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y)\left(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}z\right)\left(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}e\right)(e\in <!--\; \in \; -->z\iff <!--\; \iff \; -->(e=x\vee <!--\; \vee \; -->e=y\left)\right)$
• axiom nahrazení:

Související články

• Zermelova-Fraenkelova teorie množin
• Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova teorie množin
• Teorie množin
• ZFC

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine