Arkus kosinus

Arkus kosinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kosinus. Obvykle se značí $\arccos x$ , v anglické literatuře se taktéž používá $a c o s x$ či $\cos^{- 1} x$ . Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu $⟨ 0, π ⟩$ , jehož kosinus je $x$ .

Definice

Funkce $y = \arccos x$ je inverzní k funkci $x = \cos y (0 \leq y \leq π)$ ; je definována pro $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ .^[1]

Značení:	$y = \arccos x$ $(resp. a c o s x, \cos^{- 1} x)$ ^[2]
Definiční obor	$⟨ - 1, 1 ⟩$
Obor hodnot	$⟨ 0, π ⟩$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající $⟹$ je prostá
Symetrie	Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu $(x, y) = (0, \frac{π}{2})$
Periodicita	Není periodická
Limity	$lim_{x \to 0} \frac{\frac{π}{2} - \arccos x}{x} = 1$ tj. v okolí nuly je $arccos x \approx (\frac{π}{2} - x)$
Inverzní funkce	$x = \cos y$ (kosinus)
Derivace	$(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Integrál	$\int \arccos x d x = x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C$
Taylorova řada	$\arccos x = \frac{π}{2} - x - \frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^{5}}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^{7}}{7} - \dots \| x \| < 1$
Významné hodnoty	$\begin{matrix} x & - 1 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \arccos x & π & \frac{5 π}{6} & \frac{3 π}{4} & \frac{2 π}{3} & \frac{π}{2} & \frac{π}{3} & \frac{π}{4} & \frac{π}{6} & 0 \end{matrix}$

\begin{matrix} \arcsin x + \arccos x & = & \frac{π}{2} \\ \arccos x + \arccos (- x) & = & π \\ \arccos x + \arccos y & = & {\begin{matrix} \arccos (x y - \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}), & x + y \geq 0 \\ 2 π - \arccos (x y - \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}), & x + y < 0 \end{matrix} \\ \arccos x - \arccos y & = & {\begin{matrix} - \arccos (x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}), & x \geq y \\ \arccos (x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}), & x < y \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \arccos (\cos x) & = & x, & 0 \leq x \leq π \\ \cos (\arccos x) & = & x \end{matrix}

\arccos x = \int_{x}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}, 0 < x < 1

\arccos x = \frac{π}{2} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \frac{1 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 - \frac{1 \cdot 2 \cdot x^{2}}{5 - \frac{3 \cdot 4 \cdot x^{2}}{7 - \frac{3 \cdot 4 \cdot x^{2}}{9 - \frac{5 \cdot 6 \cdot x^{2}}{11 - \dots}}}}}}, | x | < 1

\begin{matrix} 2 \cos x & = & 1 \\ \cos x & = & \frac{1}{2} \\ x & = & \arccos \frac{1}{2} \\ x & = & \frac{π}{3} \end{matrix}

S ohledem na periodicitu funkce $\cos x$ jsou řešením původní rovnice také hodnoty:

\begin{matrix} \dots, & \frac{- 11 π}{3}, & \frac{- 5 π}{3}, & \frac{π}{3}, & \frac{7 π}{3}, & \frac{13 π}{3}, & \dots & tj. x_{k} = & \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z \\ \dots, & \frac{- 13 π}{3}, & \frac{- 7 π}{3}, & \frac{- π}{3}, & \frac{5 π}{3}, & \frac{11 π}{3}, & \dots & tj. x_{k} = & - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z \end{matrix}

↑ KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795.
↑ WolframAlpha: arccos x
↑ WolframAlpha: 2cos(x)=1

Obrázky, zvuky či videa k tématu arkus kosinus na Wikimedia Commons
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.

Goniometrické a související funkce

Goniometrické funkce	sinus kosinus tangens kotangens sekans kosekans historické sinus versus kosinus versus sinus koversus kosinus koversus exsekans exkosekans haversinus haverkosinus kohaversinus kohaverkosinus

Cyklometrické funkce	arkus sinus arkus kosinus arkus tangens arkus kotangens arkus sekans arkus kosekans

Hyperbolické funkce	hyperbolický sinus hyperbolický kosinus hyperbolický tangens hyperbolický kotangens hyperbolický sekans hyperbolický kosekans

Hyperbolometrické funkce	argument hyperbolického sinu argument hyperbolického kosinu argument hyperbolického tangens argument hyperbolického kotangens argument hyperbolického sekans argument hyperbolického kosekans

Zdroj dat	cs.wikipedia.org
Originál	cs.wikipedia.org/wiki/Arccos